Woher weiß ich, welche lineare Anpassung besser ist?

Das Problem ist, dass Ihre Daten nicht gut durch direkte Proportionalität modelliert sind$m$Und$T^2/4 \pi^2$. Beide Passungen sollten durch den Ursprung gehen; Wenn Sie jedoch naiv in jedem Fall eine lineare Anpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate zeichnen, werden Sie einen erheblichen Offset für Ihre Daten finden:

Sie können eine bessere Übereinstimmung zwischen den beiden Methoden erzielen, indem Sie die Anpassungskurve dazu zwingen, durch den Ursprung zu gehen (Details dazu unterscheiden sich je nach verwendeter Software). Die Übereinstimmung ist immer noch nicht großartig, aber sie ist besser.

Allgemeiner gesagt ist es nicht notwendigerweise der Fall, dass die Steigung der Linie den Abstand der kleinsten Quadrate für die Funktion minimiert$y = m x$gleich der Steigung der Linie sein, die den Abstand der kleinsten Quadrate für die Funktion minimiert$(1/x) = m (1/y)$. Dies liegt daran, dass eine „naive“ Anpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate von gleichmäßig verteilten Fehlern an allen Ihren Datenpunkten und vernachlässigbaren Fehlern in der unabhängigen Variablen ausgeht. Wenn Sie jedoch die beiden Diagramme vertauschen, tauschen Sie die Rollen der abhängigen und unabhängigen Variablen und ändern die Größe der Fehler auf ihnen. Im Allgemeinen wäre die beste Vorgehensweise in einer Einführungsklasse, die unabhängige Variable als diejenige zu nehmen, die genauer gemessen wird (in diesem Fall wahrscheinlich die Masse), und die Fehlerfortpflanzung zu verwenden, um Fehlerbalken für jede Ihrer Messungen zu schätzen von abhängige Variable, und führen Sie eine entsprechend gewichtete Anpassung an den Daten durch.

Das ist keine Linearisierung, es drückt nur aus$k$auf zwei verschiedene Arten. Wenn Sie zwei zufällige Werte für wählen$T$Und$m$Sie erhalten zwei unterschiedliche Ergebnisse. Der Haken ist das$T$Und$m$sind über verwandt$k$, dh$k = f(T, m)$oder$k = g(\omega, m)$und in beiden Fällen sollten Sie das gleiche Ergebnis erzielen, wenn Sie zufrieden sind$\omega = \frac{2\pi}{T}$und Sie verwenden die gleichen$m$.

$$f(T,m) = \frac{4\pi^2}{T^2} m , \qquad g(\omega,m) = \omega^2 m$$

Im Allgemeinen, wenn$k_0 = f(T_0,m_0) = g(\omega_0,m_0)$Wo$\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$Dann

$$f(T_0,m_0+\Delta) = g(\omega_0,m_0+\Delta)$$

$$f(T_0+\Delta,m_0) \neq g(\omega_0+\Delta,m_0)$$

da funktioniert$f$Und$g$sind linear ein$m$für fest$T_0$Und$\omega_0$, und nichtlinear in$T$Und$\omega$für fest$m_0$.

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Was mir scheint, ist, dass Sie verwirrt sind, wie es zu Plots kommt$(T,m,f)$Und$(\omega,m,g)$sehen nicht gleich aus. Um dies zu verstehen, betrachten Sie einen einfacheren Fall:

$$h(x) = x, \qquad z(y) = \frac{1}{y}, \qquad x = \frac{1}{y}$$

Es ist offensichtlich das$(x,h)$Und$(y,z)$Plots sind nicht gleich, obwohl die beiden Funktionen in gleich sind$x$. Jedoch,$(x,h)$Und$(1/y,z)$Plots sind die gleichen, und genau das passiert in Ihrem Fall.