Warum ist die Standardabweichung der Fehler bei der singulären Messung?

Ich bin Anfänger mit dem Studium der Datenanalyse in Physik. Ich versuche, die Bedeutung der Standardabweichung auf dem Gebiet der Experimentalphysik zu verstehen$\sigma$einer Reihe von Daten.

Es gibt eine grundlegende Sache$\sigma$das ich las, aber ich konnte es nicht verstehen.

In einer Reihe von$N$Messungen der gleichen physikalischen Größe (unter den gleichen Bedingungen) die Standardabweichung$\sigma$der Daten stellt den Fehler bei der einzelnen Messung dar .

Das heißt, ich sollte das Ergebnis einer Messung als schreiben

Diese Fakten sind mir bekannt$\sigma$(zur Bedeutung):

• $\sigma=\sqrt{\sum \frac{(x_i-\mu)^2}{N}}$, Wo$\mu$ist der theoretische "wahre Wert" der gemessenen physikalischen Größe
• Die Flexes der Gaußschen Verteilung sind in$x_{1,2}=\pm \sigma$

• $[\bar{x}-\sigma,\bar{x}+\sigma]$enthält die$68\%$von Messungen, wo$\bar{x}$ist der Mittelwert, der die bestmögliche Annäherung darstellt$\mu$

• Dort ist der$68\%$Wahrscheinlichkeit zu finden$\mu$In$[x_i-\sigma,x_i+\sigma]$und, was äquivalent ist, zu finden$x_i$In$[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$

• Dort ist der$99.7\%$Wahrscheinlichkeit zu finden$\mu$In$[x_i-3\sigma,x_i+3\sigma]$und, was äquivalent ist, zu finden$x_i$In$[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$

Ich bin mit diesen Fakten einverstanden, die sich aus den Eigenschaften der Gaußschen Verteilung ergeben, aber ich verstehe immer noch nicht warum$\sigma$ist der Fehler auf dem singulären Datum$x_i$.

Mit anderen Worten, ich verstehe nicht, warum das Variationsintervall von$x_i$sollte sein$[x_i-\sigma,x_i+\sigma]$.

Hat dieses Intervall bestimmte Wahrscheinlichkeitseigenschaften, die mit dem Fehler des singulären Werts verbunden sind?