Unter welchen Bedingungen ist die Star-Mesh-Transformation invertierbar?

Bei der Mesh-Stern-Konvertierung besteht das Problem darin, dass Sie mehr Gleichungen als Variablen haben, also die Anzahl der Bindungen$N_b$ist:$N_b=N_e-N_v$, wo$N_e$ist die Anzahl der Gleichungen, die auch gleich der Anzahl der Widerstände im Netz ist,$N_v$ist die Anzahl der Variablen, gleich der Anzahl der Widerstände im Stern. Im 4er-Fall habe ich gezeigt, dass die Anleihen für die Transformation sind$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$, d.h. die Produkte zwischen den Widerständen ohne gemeinsamen Knoten müssen gleich sein.

Ps: Die "Demonstration" ist: Die Formel für die Star-Mesh-Transformation lautet$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$mit$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$. Also vorausgesetzt$G_{XY}\ne0$, können wir zwei dieser Gleichungen dividieren und erhalten$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$für jedes von X oder Y verschiedene Z. Im 4-Fall bedeutet dies 6 Gleichungen, eine ist die folgende:$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$. Das gleiche Ergebnis erhalten wir aus:$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$. Aus den letzten 4 Gleichungen erhalten wir$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$und$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$und so haben wir endlich die$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$Zustand. Das ist also eine notwendige Bedingung. Aber wenn das Verhältnis zwischen zwei beliebigen Leitwerten des Netzes bekannt ist, können wir das ausdrücken$G_{TOT}$abhängig von nur einem von denen, wie$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$, wo$\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$, usw..$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. Mit ähnlichen Berechnungen können wir alle 4 Leitwerte (Widerstände) des Sterns finden.

Ich nehme an, all dies bedeutet, dass die Bedingung auch eine hinreichende Bedingung ist.

Was dies bedeutet (ob es wahr ist oder nicht), ist, dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, einem Sternnetzwerk aus fünf Widerständen Werte zuzuweisen, so dass alle Konfigurationen gemäß allen externen "Blackbox" -Widerstandsmessungen nicht unterscheidbar erscheinen.

Die Mesh-Transformation ist hier ein Ablenkungsmanöver. Wenn die Sternnetzwerke eindeutig bestimmt wären, gäbe es natürlich immer eine Umkehrung einer Abbildung von diesem Netzwerk auf einen anderen Typ zurück zu diesem Netzwerk.