Es gibt verschiedene mehr oder weniger formale Möglichkeiten, die Grundprinzipien der nichtrelativistischen Quantenmechanik auszudrücken, darunter sowohl nichtmathematische Aussagen als auch strengere Axiomatisierungen. In letzter Zeit gab es verschiedene Leute, die dies aus der Sicht des Quantencomputings behandelt haben. Andere haben untersucht, ob QM gebogen werden kann, ohne es zu brechen. Ich habe am Ende dieser Frage einige Hinweise auf einige dieser Arbeiten gegeben.
Aber konkreter denke ich, dass die meisten Physiker das Folgende als eine Art Konsens über eine informelle Liste von Prinzipien betrachten würden. (Eigentlich würde ich mich auch über Kritik an dieser Liste freuen.)
Frage: Muss diese Zusammenfassung der Prinzipien für QFT modifiziert werden? Wenn das so ist, wie? Wenn nicht, was ist dann der Hauptunterschied zwischen diesen beiden Theorien?
Verweise
Kapustin, https://arxiv.org/abs/1303.6917
Mackey, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, 1963, p. 56ff
Aaronson, „Is Quantum Mechanics An Island In Theoryspace?“, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401062
Masanes und Mueller, „Eine Ableitung der Quantentheorie aus physikalischen Anforderungen“, https://arxiv.org/abs/1004.1483
Hardy, „Quantum Theory From Five Reasonable Axioms“, https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012
Dakic und Brukner, „Quantum Theory and Beyond: Is Entanglement Special?“, https://arxiv.org/abs/0911.0695
Banks, Susskind und Peskin, "Schwierigkeiten bei der Entwicklung reiner Zustände in gemischte Zustände", Nuclear Physics B, Band 244, Ausgabe 1, 24. September 1984, Seiten 125-134
Nikolic, „Verletzung der Einheitlichkeit durch Hawking-Strahlung verletzt nicht die Energie-Impuls-Erhaltung“, https://arxiv.org/abs/1502.04324
Unruh und Wald, https://arxiv.org/abs/hep-th/9503024
Ellis et al., „Suche nach Verletzung der Quantenmechanik“, Nucl Phys B241(1984)381
Gisin, "Weinbergs nichtlineare Quantenmechanik und supraluminale Kommunikation", http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(90)90786-N , Physics Letters A 143(1-2):1-2
Sebens und Carroll, „Self-Locating Uncertainty and the Origin of Probability in Everettian Quantum Mechanics“, https://arxiv.org/abs/1405.7577
Alle erkennbaren Informationen über ein System sind in einem Strahl in einem Hilbert-Raum kodiert. In der QFT und im Gegensatz zur nicht-relativistischen QM gibt es keine Basis, man kann also keine Wellenfunktion konstruieren um diese Informationen zu verschlüsseln. Was Sie tun können, ist diese Informationen in den sogenannten Korrelationsfunktionen (vgl. Wightman Reconstruction Theorem ) zu verschlüsseln. Sie benötigen unendlich viele Funktionen, um alle Informationen des Systems zu codieren. Entsprechend kann man dieselbe Information in einem einzigen Funktional kodieren, entweder durch ein funktionales Integral oder als Wellenfunktion (vgl. 214552 ).
Dies ist unverändert, außer vielleicht der Tatsache, dass es normalerweise viel bequemer ist, Operatoren anstelle von Zuständen zu entwickeln, weil Kovarianz manifest wird. Die abstrakte Schrödinger-Gleichung, ist in der nicht-relativistischen QM ebenso gültig wie in der QFT (ebenso die Heisenberg-Gleichung, ). In diesem Sinne ist die Evolution immer noch einheitlich, aber sie wird in Begriffen von Operatoren anstatt von Zuständen ausgedrückt.
Dies ist unverändert.
Dies ist unverändert, außer vielleicht der Tatsache, dass es manchmal bequem ist, den Hilbert-Raum künstlich zu vergrößern, um "negative Normzustände" einzuschließen, d "wahres" Skalarprodukt im "wahren", physikalischen Hilbertraum).
Dies ist unverändert.
Die Quantenfeldtheorie ist Quantenmechanik, die auf Lorentz-kovariante Kausalsysteme angewendet wird. Das heißt, die Quantenfeldtheorie ist einfach Quantenmechanik plus spezielle Relativitätstheorie. Die Forderung nach Lorentz-Kovarianz und Kausalität schränkt die Systeme ein, über die Sie sprechen können. Zum Beispiel bricht ein Kristallgitter die Lorentz-Symmetrie vollständig, also ist das raus.
Die Systeme, über die Sie sprechen können , erweisen sich als solche, die aus Lorentz-kovarianten lokalen Quantenfeldern bestehen. Das ist im Grunde die Botschaft der ersten 250 Seiten von Weinbergs The Quantum Theory of Fields . Hier ist der Anfang von Ch.2:
Der Standpunkt dieses Buches ist, dass die Quantenfeldtheorie so ist, wie sie ist, weil sie (mit gewissen Einschränkungen) die einzige Möglichkeit ist, die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu bringen. [...] Zuerst eine gute Nachricht: Die Quantenfeldtheorie basiert auf derselben Quantenmechanik, die 1925-26 von Schrödinger, Heisenberg, Pauli, Born und anderen erfunden wurde und seitdem in der atomaren, molekularen verwendet wird , Kernphysik und Physik der kondensierten Materie. [...] [D]ieser Abschnitt enthält nur die kürzesten Zusammenfassungen der Quantenmechanik [...]
(i) Physikalische Zustände werden durch Strahlen im Hilbert-Raum dargestellt. [...]
(ii) Observable werden durch hermitesche Operatoren dargestellt. [...]
Diese – in der vollständigen Form im Buch – decken mehr oder weniger Ihre Punkte 1 bis 5 ab.
Ich empfehle auch Weinbergs Vortrag Was ist Quantenfeldtheorie und was haben wir uns darunter gedacht?
Ich denke, auf pädagogischer Ebene kann das Denken der Quantenfeldtheorie als anders als und nicht nur als eine Teilmenge der Quantenmechanik etwas damit zu tun haben, dass die Schüler zuerst mit der Schrödinger-Gleichung in der falschen Form konfrontiert werden. Die Shrödinger-Gleichung ist grundsätzlich keine PDE im Realraum. Es ist eine ODE im Hilbert-Raum. Dementsprechend sollte man nicht mit Wellenfunktionen beginnen, sondern mit Zustandsvektoren, wie andere Antworten und Kommentare darauf hingewiesen haben.
Alle diese Postulate gelten weiterhin in der relativistischen QFT, außer dass der Zeitentwicklungsoperator nicht mehr durch die Schrödinger-Gleichung mit einem nichtrelativistischen Hamilton-Operator definiert ist.
Das einzige, das im relativistischen Kontext eine signifikante neue Ausarbeitung erfordert, ist die Existenz eines inneren Produkts. In der nichtabelschen Eichtheorie ist es oft ein nützlicher Rechentrick, Ihren Hilbert-Raum formal auf einen größeren Zustandsraum zu erweitern, der negative Norm-„Geister“ enthält. Ein solcher Zustandsraum ist kein Hilbertraum mehr, weil seine sesquisymmetrische Bilinearform nicht mehr positiv definit und damit kein inneres Produkt mehr ist. Aber der entscheidende Punkt ist, dass Sie niemals Geister einführen müssen ; sie sind lediglich ein nützlicher Rechentrick, existieren aber physikalisch nicht. Sie können immer jede Berechnung durchführen, ohne Geister anzurufen; Siehe hier .
Um den Kommentar von Adomas Baliuka zu erweitern: Alle QFTs, die wir mathematisch streng konstruieren können, erfüllen Ihre 5 Axiome. Wie in der Antwort von AccidentalFourierTransform schön zusammengefasst, liegen die Unterschiede zur quantenmechanischen Standardformulierung eines einzelnen Teilchens eher in der physikalischen Interpretation des Zustandsvektors und in der Art der Observablen, die Sie in Ihrem Hilbert-Raum definieren können (z. B. Sie werden die messen Anzahl von Teilchen in einem bestimmten Raumbereich, anstatt die Position eines bestimmten Teilchens zu messen).
Darüber hinaus möchten Sie vielleicht den Begriff QFT auf Quantentheorien beschränken, die über die grundlegenden QM-Axiome hinaus zusätzliche Axiome erfüllen, wie z. B. Lokalität, Kausalität, (lokale) Lorentz-Invarianz ...
Aber auf jeden Fall ist es wichtig zu bedenken, dass es nicht so viele QFTs gibt, von denen wir wissen, wie man sie konstruiert: freie Felder in jeder Dimension, polynomisch wechselwirkende Felder in 1+1- und 2+1-Dimensionen, ein paar andere Wechselwirkungstheorien in niedrigen Dimensionen, einige topologische Theorien (dh Theorien, die auf den ersten Blick wie Feldtheorien aussehen, sich aber als nur endlich viele wahre, physikalische Freiheitsgrade herausstellen), ... Es gibt viele QFTs, die wir gerne konstruieren würden aber ich weiß nicht wie, daher bleibt es in der mathematischen Physik ziemlich offen, was der "richtige" axiomatische Rahmen für QFT sein sollte.
Insbesondere die von Ihnen geforderten Axiome werden wahrscheinlich zumindest für QFT in einer gekrümmten, nicht statischen Raumzeit zusammenbrechen: Dort ist es möglicherweise nicht mehr möglich, einen Hilbert-Raum zu finden, auf dem die Zeitentwicklung als Einheit dargestellt werden könnte Transformation. Wenn Sie versuchen, die Entwicklung aufzuschreiben, stellen Sie fest, dass sie Sie aus Ihrem Hilbert-Raum wirft )-; Daher müssen Sie möglicherweise Ihre Definition dessen, was ein "Zustand" Ihrer Quantentheorie ist, etwas lockern, um sicherzustellen, dass alle Zustände gültige Zustände bleiben , wenn sie sich im Laufe der Zeit entwickeln.
Ein Vorschlag für einen allgemeineren Begriff von Quantenzuständen sind sogenannte algebraische Zustände (siehe zB diese Antwort von mir für eine elementare Einführung). Sie können als natürliche mathematische Verallgemeinerung gemischter Zustände (auch bekannt als Dichtematrizen) betrachtet werden. Beachten Sie, dass es selbst im Zusammenhang mit endlich vielen Freiheitsgraden Axiomatisierungen der Quantenmechanik gibt, bei denen gemischte Zustände das grundlegende Objekt sind und nicht wie im Standardformalismus ein nachträglicher Einfall. Dies ist beispielsweise der Fall bei den sogenannten "generalisierten Wahrscheinlichkeitstheorien" , die darauf abzielen, die Quantenmechanik aus sehr grundlegenden Annahmen zu Messvorgängen neu abzuleiten.
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