Verletzt der Kollaps der Wellenfunktion in einen Impuls-Eigenzustand die Lichtgeschwindigkeitsbeschränkung?

Betrachten wir ein freies System, in dem der Hamiltonoperator ist P ^ 2 / 2 M .

Zum Zeitpunkt T = 0 , beginnen wir mit einem Zustand an Position X . Eine augenblickliche Zeit δ T später, wo δ T → 0 messen wir den Impuls des Teilchens und erhalten einen Wert k . Nach der Messung kollabiert die Wellenfunktion in einen Impuls-Eigenzustand ψ ( X ) = e ich k X .

Ein weiteres Intervall δ T später messen wir die Position des Teilchens. Da sich das Teilchen in einem Impuls-Eigenzustand befindet, kann die Messung jeden beliebigen Wert ergeben, der von reicht − ∞ Zu ∞ .

Dies scheint darauf hinzudeuten, dass das Teilchen in kurzer Zeit eine beliebig große Distanz zurücklegen kann 2 δ T . Bedeutet dies, dass der Kollaps der Wellenfunktion gegen die Lichtgeschwindigkeitsbeschränkung verstößt?

Antworten (1)

Auf diese Frage gibt es zwei Antworten. Das erste ist, ja, in der nicht-relativistischen Quantenmechanik können Dinge schneller als Lichtgeschwindigkeit laufen, weil die Relativitätstheorie niemals berücksichtigt wird. Die Lösung besteht darin, die Quantenfeldtheorie zu lernen.

Auch diese besondere Situation können wir näher betrachten. Ihr Gedankenexperiment legt nahe, dass eine Impulsmessung ein Teilchen in unendlich kurzer Zeit unendlich weit „teleportieren“ kann, was sich unabhängig von der Relativitätstheorie unphysikalisch anfühlt.

Die Lösung besteht darin, dass eine präzise Impulsmessung eine begrenzte Zeit in Anspruch nimmt. (Und eine unendlich genaue Impulsmessung, wie Sie vorschlagen, dauert unendlich lange.)

Um dies zu sehen, gehen Sie von der Energie-Zeit-Unschärferelation aus

Δ E Δ T ≥ ℏ
Wo Δ E = Δ ( P 2 / 2 M ) = P Δ P / M . Dann haben wir die Grenze
P Δ P Δ T M ≥ ℏ
Wo P ist der (durchschnittliche) Wert des Impulses, den Sie erhalten, Δ P ist die Ungewissheit über dieses Momentum, und Δ T ist die Zeit, die für die Durchführung der Messung benötigt wurde. Dies sagt uns, dass genauere Impulsmessungen länger dauern.

Nun, der Endzustand nach dieser „verschmierten“ Impulsmessung ist ein Wellenpaket, das um den Ursprung mit Breite zentriert ist Δ X , mit

Δ X Δ P ∼ ℏ .
Wenn Sie dies schließlich mit unserem anderen Ergebnis kombinieren, erhalten Sie
Δ X Δ T ≤ P M .
Das heißt, das Teilchen bewegt sich nicht schneller als es halbklassisch wäre.

Wie würde die Quantenfeldtheorie dies beheben? Beschreibt die Quantenfeldtheorie den Kollaps der Wellenfunktion?
@JNL In einer richtig relativistischen Quantenfeldtheorie haben raumartig getrennte Experimente keinen Einfluss aufeinander. Man braucht nie den "Zusammenbruch der Wellenfunktion" einzuführen, was auch immer das bedeutet. Der S -Matrix ist ausreichend.
Warum haben Sie es beim zweiten Mal mit dem Heisenberg-Prinzip geschrieben? ∼ anstatt ≥ wie im ersten Fall? Das ist der entscheidende Punkt. Ich sehe dafür keine physikalische Begründung. Ohne diesen Unterschied hättest du keine Schlussfolgerung ziehen können.
@ValterMoretti Ja, dieser Punkt ist schwierig. Wenn wir davon ausgehen, dass der Impulsmessfehler gaußförmig ist, haben wir dort Gleichheit. Allgemeiner glaube ich, dass für physikalisch 'vernünftige' Fehlerverteilungen (zB ist positiv auf allen [p - \Delta p, p + \Delta p], ist stetig, ...) dann Δ X Δ P kann nicht viel größer sein als ℏ aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll.
Und was ist mit der zweiten Messung, der Position? Ist es augenblicklich? Ehrlich gesagt denke ich, auf diese Weise meine ich mit "Ad-hoc-Hypothesen", dass man alles und sein Gegenteil beweisen kann ....
@ValterMoretti Positionsmessungen spielen für dieses Argument keine Rolle. Ich versuche nur zu zeigen, dass Messungen Partikel nicht wesentlich weiter "teleportieren" können, als sie sich halbklassisch bewegen könnten. Wir wissen bereits, dass eine Positionsmessung dies nicht kann, weil sie nur dort Werte liefern kann, wo ψ ( X ) ist bereits ungleich Null.
Ich denke, es ist eine verzweifelte Aufgabe von Ihnen. Die Schrödinger-Gleichung selbst ist nicht lokal wie die Wärmegleichung. Sie können die Welle zur Anfangszeit 0 auf einen begrenzten Bereich beschränken (strikt außerhalb davon verschwinden), und für jede beliebig kleine positive Zeit verschwindet die Wellenfunktion nirgendwo. Dies ohne dass ein Messvorgang erforderlich ist ...
Allerdings kann ich mit diesen, sagen wir, experimentellen physikalischen Ansätzen nicht umgehen, vielleicht hast du recht. Mach dir keine Sorge :)
@ValterMoretti Ich denke, mein Argument erklärt, warum das passieren kann: Es gibt beliebig hohe Impulskomponenten in der anfänglichen Wellenfunktion, und diese Komponenten breiten sich dann mit Geschwindigkeit nach außen aus v G = P / M . Seit P ist unbegrenzt, v G ist auch.
Ja, ich stimme dir zu.
@Robin Ekman Es scheint mir, dass man den Kollaps der Wellenfunktion nie einführen muss, aber man kann es nicht. Der S -Matrix berechnen ⟨ ψ F | S | ψ ich ⟩ ist so etwas wie der Durchschnitt der Messung, aber kein Kollaps der Wellenfunktion. Im Pfadintegralformalismus integriert man den Zwischenimpuls bis ins Unendliche. Dies scheint darauf hinzudeuten, dass für jeden möglichen Weg die Lichtgeschwindigkeit verletzt werden kann (und der unbegrenzte Impuls führt zu der Divergenz in der Theorie).
Woher weißt du das Δ T Wie lange dauert die Messung? Ich habe über das Zeit-Energie-Unschärfeprinzip gelesen und es scheint, dass die Interpretation des Prinzips selbst ziemlich unsicher ist.
„In der nicht-relativistischen Quantenmechanik können Dinge schneller als Lichtgeschwindigkeit ablaufen.“ Diese Aussage ist völlig falsch. In der nicht-relativistischen Quantenmechanik bewegt sich alles viel langsamer als die Lichtgeschwindigkeit.
Verletzt der Kollaps der Wellenfunktion in einen Impuls-Eigenzustand die Lichtgeschwindigkeitsbeschränkung?
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