Verletzt die Wärmegleichung die Kausalität?

Ich bin auf die Idee gestoßen, dass sie nicht nur partielle Differentialgleichungen in kovarianter Form schreiben müssen, sondern auch hyperbolisch sein müssen, wobei alle charakteristischen Geschwindigkeiten kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind. Eine einfache Verallgemeinerung der Gleichungen für ein dissipatives Fluid auf den relativistischen Fall stößt angeblich auf Schwierigkeiten wegen der Wärmegleichung:

∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T .

In der eigentlichen relativistischen Theorie wird dies auf etwas Kovariantesartiges verallgemeinert

u μ ∇ μ T = κ ( g μ v − u μ u v ) ∇ μ ∇ v T ,

wo u ist ein zeitartiger Vektor (dies ist nur schematisch, es gibt andere Begriffe). Aber der Punkt ist, dass es immer noch ein Problem mit dieser Theorie gibt, weil dies eine parabolische Gleichung ist.

Ich frage mich, ob es eine Möglichkeit gibt, etwas eindeutig Pathologisches wie superluminale Signale in der Wärmegleichung zu sehen? Das ist mir etwas unklar, da die Gleichung nicht wellenartig ist. Angenommen, Sie können Signale nicht schneller als Licht senden, was wäre das Problem mit nicht-hyperbolischen Gleichungen?

Soweit ich darüber gelesen habe, ist es pathologisch. Aus diesem Grund verwenden die Leute keine parabolischen Gleichungen für relativistische Szenarien, sie neigen dazu, korrigierte hyperbolische Gleichungen zu verwenden, im Falle einer Wärmegleichung wäre dies so etwas wie die Maxwell-Cantaneo-Gleichung. Ich kann später einige Links hinterlassen, wenn Sie möchten
Danke euch beiden für die Hinweise. Ja, diese Frage wurde im Zusammenhang mit der Eckart-Theorie (und Landau-Lifschitz) in diesem Artikel diskutiert.
@octonion, hier ein Hinweis, dass ich arxiv.org/abs/0902.3663 studiert habe

Antworten (1)

Das Folgende ist sicherlich keine umfassende Antwort, die alle Ihre Bedenken anspricht. Es ist eine Antwort auf die Frage

Gibt es eine Möglichkeit, etwas eindeutig Pathologisches wie superluminale Signale in der Wärmegleichung zu sehen?

Ich würde behaupten, ja, das gibt es.

Die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems T ( x , 0 ) = T 0 ( x ) für die Wärmegleichung auf der reellen Linie ist

T ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ d x ' T 0 ( x ' ) G ( x − x ' , t ) .
wo G ist die Green'sche Funktion für die Wärmegleichung und ist explizit gegeben durch
G ( x , t ) = e − x 2 / ( 4 κ t ) π ( 4 κ t ) .
Beachten Sie, dass wenn T 0 ( x ) = δ ( x ) , nämlich wenn man einen lokalisierten Einheitswärmeimpuls am Ursprung bei bereitstellen würde t = 0 , dann wäre die Temperaturverteilung für alle späteren Zeiten gleich der Green'schen Funktion (weshalb sie oft als Impulsantwort- und/oder Quellenfunktion bezeichnet wird):
T ( x , t ) = e − x 2 / ( 4 κ t ) π ( 4 κ t ) , t > 0.
Aber dies ist eine Gaußsche Verteilung über die reelle Linie, die überall für alle ungleich Null ist t > 0 . Mit anderen Worten, wenn Sie einen Punkt auf der realen Linie gleichzeitig erhitzen t = 0 , dann für alle t > 0 , egal wie klein, die gesamte Linie hat eine Temperatur ungleich Null, obwohl sie überall außer am Ursprung bei Nulltemperatur begann.

Dieses Verhalten ermöglicht eine superluminale Signalisierung. Um zu sehen, wie das so ist, beachten Sie, dass Sie, wenn Sie einen langen Stab von hier nach Proxima Centauri aus einem Material haben, das genau der Wärmegleichung gehorcht, und wenn Sie Ihren in der Nähe von Proxima Centauri stationierten Verbündeten vor einem bevorstehenden Alienangriff warnen möchten Sie müssen nur die Rute kalt halten, bis Sie Informationen über einen Angriff hören. In diesem Moment können Sie einfach den Teil der Rute neben Ihnen erhitzen, und sie wird sofort den Teil der Rute neben ihr als heißer messen. Sie kann dann sofort damit beginnen, sich darauf vorzubereiten, ihre Station zu verteidigen.

Funktioniert dein Beispiel? Ich würde denken, dass das Erreichen der erforderlichen Genauigkeit Probleme mit dem Unsicherheitsprinzip haben würde.
@Taemyr, dies ist ein Gedankenexperiment, das benötigt wird, um das Prinzip zu demonstrieren, kein Rezept für ein Experiment.
Übersehe ich etwas oder berücksichtigt diese Antwort nur die klassische Wärmegleichung, nicht die kovariante, die OP will?
@KyleKanos In der Frage (v3) schreibt das OP "... wegen des Vorhandenseins der Wärmegleichung :
T t = κ ∇ 2 T .
Später, in der Frage, die ich in meiner Antwort zitiere, verwendet das OP erneut den Begriff "Wärmegleichung", ohne zu betonen, dass es nicht der ist, auf den er sich ausdrücklich früher bezieht. Aufgrund seiner anderen Sprache schien es mir auch, dass das OP etwas allgemein nach nicht-hyperbolischen Gleichungen fragte, wobei er die von ihm aufgeschriebenen Gleichungen als Beispiele verwendete. Schließlich habe ich ausdrücklich einen Haftungsausschluss eingefügt, da ich wusste, dass das OP zumindest mehr stellte als die Frage, die ich beantwortete.
Okay, nur um sicherzustellen, dass ich es nicht bin.
@KyleKanos Vielleicht bin ich völlig daneben und meine Antwort ist für das OP nutzlos. Aufklärung wäre hilfreich.
@joshphysics Diese Antwort ist in der Tat sehr hilfreich. Die klassische Wärmegleichung ist ein Sonderfall der kovarianten Gleichung, wenn wir bei Minkowski und sind u zeigt in Zeitrichtung. Was mich verwirrte war das an t = 0 , ∇ 2 T = 0 weg von dem Impuls so T ˙ = 0 und es schien, als würden wir nicht sofort ein Signal sehen. Aber natürlich funktioniert diese explizite Green-Funktion und T ˙ → 0 wie t → 0 .
Verletzt die Wärmegleichung die Kausalität?
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