Verständnis der Formel mv2/2mv2/2m v^2/2 für kinetische Energie

Ich habe ein Problem, intuitiv zu verstehen, warum die kinetische Energie quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst (zumindest im nicht-relativistischen Fall).

Stellen Sie sich folgendes Experiment vor: Wir starten eine unbemannte Rakete von einem Asteroiden, lassen sie die Zeit beschleunigen T in eine Richtung und dann Zeit 2 T in Rückwärtsrichtung; also rechtzeitig 2 T es hat die Geschwindigkeit null und in 3 T , sollte es in der gleichen Position wie in der Zeit sein T , nur mit entgegengesetzter Geschwindigkeit. Dann lassen wir ihn frei fliegen, bis er auf den Asteroiden trifft und nehmen an, dass sich alle kinetische Energie in Wärme umwandelt.

Wiederholen Sie das gleiche Experiment mit T ersetzt durch λ T ; die Endgeschwindigkeit wird sein λ mal größer und wir verwendet λ -mal so viel Sprit für die Beschleunigungen. Aber das lässt sich kaum umrechnen λ 2 -mal die Energie.

Verbirgt sich die Lösung darin, dass der Kraftstoff selbst ein nicht zu vernachlässigendes Gewicht hat?

Ja, das Gewicht ist definitiv nicht zu vernachlässigen. Die Beziehung zwischen Endgeschwindigkeit und Kraftstoffmenge wird nicht linear sein, wie Sie annehmen.
@Qmechanic Ok, ich habe mich nur gefragt, wo der Hauptfehler in dem von mir vorgeschlagenen virtuellen Experiment ist. vernachlässigt es das Gewicht des Kraftstoffs oder auch etwas anderes? Danke
Ein verwirrendes Beispiel. Wie wäre es, wenn Sie die Energie berechnen, wenn Sie es aus einer bekannten Höhe in einem konstanten Schwerefeld fallen lassen?
@ Peter: Es geht nicht linear, auch nicht quadratisch, siehe zur rigorosen Behandlung des Problems das Tsiolkovsky-Gesetz über die Raketengeschwindigkeit im Vergleich zum Treibstoffverbrauch. de.wikipedia.org/wiki/…
Dies ist ein überkompliziertes Gedankenexperiment. Vernachlässigen Sie die Komplexität der richtigen Raketenwissenschaft, wenn Sie die nicht-relativistische Geschwindigkeit eines Objekts um einen Faktor von erhöhen λ , dann erhöhst du seine kinetische Energie um den Faktor λ 2

Antworten (2)

Gehen wir die Dinge Schritt für Schritt an, von der linearen Impulserhaltung. Natürlich folgt die rigorose Behandlung dem Tsiolkovsky-Gesetz. Hier sage ich etwas weniger strenges, aber intuitives.

Um die Geschwindigkeit von Null auf zu erhöhen Δ v Sie verbrauchen eine Menge Kraftstoff Δ M . Wenn ich von Null sage , meine ich, dass ich eine diskrete Reihe schneller Kraftstoffverbräuche betrachte. Bei einem solchen Verbrauchsereignis ist im Bezugssystem der Rakete ihre Geschwindigkeit Null, und wir wollen eine Geschwindigkeit erhalten Δ v . Dann sagt die Impulserhaltung

Δ M . v = ( M − Δ M ) Δ v

Δ M v 2 + M ( Δ v ) 2 2 = E Δ M

Wo M ist die Masse der Rakete vor dem Verbrauch Δ M von Kraftstoff, v die Geschwindigkeit des ausgestoßenen Gases ist und E Δ M ist die Energie, die Δ M Kraftstoff freigesetzt werden kann. Verwenden wir absolute Werte für Geschwindigkeiten, um nicht in allen Formeln das Minus zu tragen, das durch die entgegengesetzte Richtung der Raketen- und Gasgeschwindigkeiten verursacht wird.

Daher,

v = ( M − Δ M ) Δ v Δ M ,
Und
( Δ v ) 2 = 2 E Δ M [ M 2 / Δ M − ( M − Δ M ) ] ,

aus denen

Δ v = 2 E Δ M [ M 2 / Δ M − ( M − Δ M ) ] .

Selbst bei meiner nicht strengen Behandlung stehen die Geschwindigkeit und die Menge des verbrannten Kraftstoffs also nicht in linearer Beziehung.

Ich hoffe, es hilft.

Sie haben ein paar Probleme in Ihrem Beispiel.

Das erste ist, dass Ihr Beispiel überhaupt keine Geschwindigkeit enthält. Sie fragen nach dem quadratischen Verhältnis von Geschwindigkeit zu Energie, und Ihr Beispiel spricht stattdessen von Zeit und Kraftstoff, nicht von Geschwindigkeit.

Das bedeutet, dass Ihr anderes Problem darin besteht, dass Sie davon ausgehen, dass ein Raketentriebwerk die kinetische Energie des Raketenschiffs in linearer Beziehung zur Brenndauer erhöht. Leider nicht.

Raketen liefern konstanten Schub, nicht konstante Leistung. Die von einer Rakete bereitgestellte Energie ergibt sich aus dem alten Standby: W = F × D . Wenn wir beide Seiten durch die Zeit dividieren, sehen wir das

W T = F × D T
P = F × v

Die Leistung einer Rakete (die Rate, mit der sie die kinetische Energie eines Schiffes erhöht) hängt von der Geschwindigkeit ab. Dies bedeutet, dass die Energie des Fahrzeugs (ungefähr) proportional ist T 2 der Verbrennung, nicht T .

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