Ableitung der Raketengleichung

Kürzlich habe ich mich entschlossen, die Teile der klassischen Mechanik zu behandeln, die mir immer Probleme bereiteten. Einer dieser Teile war die Raketengleichung, also dachte ich, dass ich versuchen würde, die entsprechenden Gleichungen von Grund auf neu abzuleiten. Offensichtlich bin ich irgendwo in Schwierigkeiten geraten, also hoffe ich, dass jemand auf meine Fehler hinweisen und mich in die richtige Richtung lenken kann. Wie auch immer, hier geht ...

Angenommen, eine Rakete stößt Abgas mit konstanter Geschwindigkeit (relativ zur Rakete) dahinter aus. u . Fixieren Sie einen Trägheitsreferenzrahmen und betrachten Sie die Rakete + das Abgassystem. Wenn M R bezeichnet die momentane Masse der Rakete, dann kann der Impuls der Rakete geschrieben werden als M R v , Wo v ist die Momentangeschwindigkeit der Rakete. Der Impuls des Auspuffs sollte durch das Integral gegeben sein:

∫ ( v + u ) D M E D T D T

Wo M E bezeichnet die momentane Masse des Abgases. Wenn wir diese Ausdrücke für den Impuls kombinieren, erhalten wir den Gesamtimpuls für das System:

P = M R v + ∫ ( v + u ) D M E D T D T

Nun ergibt sich nach dem 2. Bewegungsgesetz die auf die Rakete + Abgasanlage wirkende Kraft P durch Zeitableitungen. Mit anderen Worten:

F = P ˙ = D M R D T v + M R D v D T + ( v + u ) D M E D T = M R D v D T − D M R D T u

Dieser Ausdruck stimmt oberflächlich mit denen in meinen College-Mechanikbüchern überein, aber es gibt einen großen Unterschied. In diesem Ausdruck F ist die Gesamtkraft, die auf die Rakete + Abgasanlage wirkt, während in meinen Texten dies der Fall ist F ist nur die Kraft, die allein auf die Rakete wirkt.

Auf dieser Grundlage habe ich also irgendwo in meiner Argumentation einen grundlegenden Fehler gemacht. Wie ich bereits gefragt habe, wäre ich sehr verbunden, wenn mir jemand helfen könnte, diesen Fehler zu identifizieren und zu beheben.

„ allein die auf die Rakete wirkende Kraft “ – würde ich so ausdrücken F R := M R D / D T ( v ) = F R e X T e R N A l + u D / D T ( M R ) ; während " die Gesamtkraft, die auf die Rakete + das Abgassystem wirkt " - ich würde es so ausdrücken F e X T e R N A l , wo vielleicht üblicherweise angenommen wird, dass es unerheblich ist, welche Kräfte auf die Abgasmasse wirken, wenn sie einmal ausgestoßen wurde, also vielleicht F e X T e R N A l := F R e X T e R N A l . Ich schließe daraus, dass Ihre Texte schlampig formuliert sind ...
Warum ist der Impuls des Auspuffs durch dieses Integral gegeben und nicht einfach M E ( v + u ) , Wo M E ist die zu einem Zeitpunkt bereits ausgestoßene Gasmasse T ?

Antworten (1)

Ich sehe keinen Fehler deinerseits. Die Kraft auf die Rakete muss nur der zeitlichen Änderungsrate des Raketenimpulses entsprechen, damit entweder die Texte irreführend oder einfach falsch sind.

Auf das Raketen-/ Antriebssystem wirkt keine äußere Kraft, sodass sich der Massenschwerpunkt des Raketen-/Antriebssystems als Ganzes nicht ändert.

Daher:

M R ⋅ D v = u ⋅ D M R

oder

D v = − u D M R M R

was dazu führt

Δ v = u [ ln ⁡ ( M R , ich ) − ln ⁡ ( M R , F ) ] = u ln ⁡ M R , ich M R , F

Richtig, dies führt also zur richtigen Gleichung für die Geschwindigkeit in Abwesenheit äußerer Kräfte. Aber wenn ich meinen Ansatz versuche, sagen wir, das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes, erhalte ich falsche Ergebnisse. Wenn ich zum Beispiel die Geschwindigkeit in diesem Fall finden möchte, bekomme ich ( M R + M E ) G = M R v ˙ − u M ˙ R und ich kann lösen v von hier. Kleppner und Kolenkow sagen jedoch, ich hätte es tun sollen M R G = M R v ˙ − u M ˙ R und für die ich auflösen sollte v von dort. Daher meine Verwirrung.
Ah, ich glaube, ich habe die Quelle meines Fehlers identifiziert. Für den Fall, dass keine äußeren Kräfte auf das System einwirken, geht die Ableitung problemlos durch. Aber wenn ich äußere Kräfte betrachte, die auf das System einwirken, ist der Ausdruck, den ich für den Impuls des Auspuffs habe, falsch. Ein zusätzlicher Term wird benötigt, um den Impuls zu korrigieren, der aufgrund der auf den Auspuff wirkenden externen Kraft gewonnen/verloren wird. Habe ich dieses Recht?
Ja, eine externe Kraft auf ein System ändert seinen Impuls gemäß der Formel, die Sie in Ihrer Frage angegeben haben. Der Antrieb aufgrund der ausgestoßenen Abgase übt jedoch eine innere Kraft auf das Raketen-/Treibmittelsystem aus, sodass sich der Impuls des Systems nicht ändert.
Ableitung der Raketengleichung
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