"Suicide Burn"-Raketenproblem [geschlossen]

Es gibt eine akzeptierte Antwort; Ich mag es nicht ganz, also nehme ich einen Schlag.

Angenommen, Sie kennen beim Start die Leermasse des Fahrzeugs, die Kraftstoffmenge in den Kraftstofftanks, den spezifischen Impuls oder den Massenstrom nicht genau. (Die Leermasse des Fahrzeugs sollte besser eine sehr gute Schätzung sein. Sonst sind wir getoastet.) Der Raum hat einen Radar-Höhenmesser, der Entfernung und Entfernungsrate misst. Diese Messungen sind natürlich Lügen. Sie sind laut, und sie könnten voreingenommen sein.

Das bedeutet, dass wir einen Kalman-Filter benötigen, der im Laufe der Zeit unser Wissen über Fahrzeugmasse, Kraftstoffmasse, Massendurchfluss, spezifischen Impuls, Höhe und Geschwindigkeit verbessern kann. Dieser Kalman-Filter ist der Kern des Navigationssystems des Raumfahrzeugs. Es aktualisiert nur die Fahrzeugmasse, die Kraftstoffmasse, den Massendurchfluss und den spezifischen Impuls, wenn das Fahrzeug seine Triebwerke abfeuert. Höhe und Geschwindigkeit werden ständig aktualisiert.

Wir brauchen auch ein Leitsystem. Die optimale Steuerung ist in diesem Fall eine Bang-Bang-Steuerung. Das Fahrzeug fällt kurz ballistisch (Motoren aus) und zündet dann die Motoren. Die Motoren zünden dann kontinuierlich, bis das Fahrzeug mit einer relativen Geschwindigkeit von Null aufsetzt. Aus, an, aus. Bang-bang.

Wie kann man sagen, wo dieser magische Zeitpunkt ist, an dem die Triebwerke von Aus auf Ein wechseln? Ganz einfach: Wir brauchen einen Propagator. Ausbreitung in der Zeit vorwärts unter der Annahme, dass die Triebwerke jetzt eingeschaltet sind, und bleiben eingeschaltet, bis das Fahrzeug den Boden berührt oder in Bezug auf den Boden zum Stillstand kommt. Die Differentialgleichungen sind einfach zu schreiben:

Kein realistisches Steuerungssystem verwendet eine reine optimale Steuerung. Eine optimale Steuerung lässt keinen Raum für Fehler, und Sie brauchen immer Raum für Fehler. Die Sensoren lügen, der Kalman-Filter lügt, alles lügt. Wir brauchen eine Totzone. In diesem Fall ist die Totzone durch die Geschwindigkeit gegeben, die das Fahrzeug und sein Inhalt (einschließlich der Menschen) beim Kontakt mit dem Boden tolerieren können. Wenn das Fahrzeug seine Triebwerke bis zum Boden abfeuert, aber die Geschwindigkeit beim Bodenkontakt kleiner als diese Grenze am Punkt des Bodenkontakts ist, ist das in Ordnung. Wenn das Fahrzeug irgendwann über dem Boden die Geschwindigkeit Null erreicht und dann ballistisch fällt und mit einer Geschwindigkeit von weniger als dieser Grenze auftrifft, ist das auch in Ordnung.

Es gibt zwei Fälle, in denen dies nicht in Ordnung ist. Ein Fall tritt auf, wenn das Fahrzeug seine Triebwerke ganz bis zum Boden abfeuern muss und die Geschwindigkeit beim Bodenkontakt zu hoch ist. Das ist der Crash-and-Burn-Modus. Nicht gut. Der andere Fall tritt auf, wenn der Punkt der Relativgeschwindigkeit Null zu weit über dem Boden liegt. Das anzugehen ist einfach: Fangen Sie noch nicht an zu feuern. Bleiben Sie einfach im ballistischen Modus.

Wir müssen die Totzone aufgrund der Unsicherheiten in den Schätzungen der Fahrzeugtrockenmasse, der Kraftstoffmasse, des Massendurchflusses, des spezifischen Impulses, der Höhe und der Geschwindigkeit ein wenig mildern. Wenn wir beginnen, wollen wir eine zu hohe Schätzung der Kraftstoffmasse und zu niedrige Schätzungen des spezifischen Impulses und der Massendurchflussrate. Dadurch wird das Lenk- und Steuersystem gezwungen, etwas früher zu schießen, als es optimalerweise sollte. (Ein spätes Starten des Brennens ist keine gute Option. Dies führt zu einem Crash- und Brennmodus.) Der Filter wird in Kürze zu besseren Schätzungen der Massen, der Durchflussrate und des spezifischen Impulses gelangen. Die Lenkung und Steuerung sorgen dafür, dass das Fahrzeug (vorübergehend) aufhört zu feuern. Spülen und wiederholen, aber immer etwas konservativ sein. Es ist besser, etwas früh zu feuern und etwas Treibstoff zu verschwenden, als spät zu feuern und in den Crash-and-Burn-Modus zu wechseln.

Ich gehe davon aus, dass Sie vollkommen senkrecht fallen und dass sich der Himmelskörper nicht dreht.

Wenn Sie davon ausgehen, dass die Masse der Rakete konstant bleibt, können Sie mithilfe der Zeitumkehrung herausfinden, wann Sie mit dem Selbstmordanschlag beginnen sollten . Sie "starten" nämlich die Oberfläche mit Ihrer gewünschten Endgeschwindigkeit,$v_f$, und stoßen Sie nach oben, bis Ihre (spezifische) Orbitalenergie mit der Ihrer aktuellen Flugbahn übereinstimmt. Sie können dies als Funktion der Zeit simulieren, aber in diesem Fall ist es einfacher, die Energieerhaltung zu verwenden,

Wo$\mu$ist der Gravitationsparameter des Himmelskörpers,$R_f$der Endradius (der Oberfläche) bezogen auf den Schwerpunkt des Himmelskörpers,$h$die Höhe über der Oberfläche, bei der Sie den Selbstmordversuch beginnen müssen,$F$die Schubkraft, die die Rakete liefern kann,$m$die Masse der Rakete,$v_i$die Anfangsgeschwindigkeit der Rakete und$R_i$der Anfangsradius der Rakete relativ zum Schwerpunkt des Himmelskörpers.

Um die Zeit zu finden,$T$, es dauert, um diese Verbrennung durchzuführen, müssen Sie das Integral berechnen,

jedoch gibt es dafür keine allgemeine Lösung, so dass sie numerisch berechnet werden muss. Das benützte$\Delta v$finden Sie mit$\Delta v = \frac{F}{m}T$.

Wenn Sie die variable Masse der Rakete berücksichtigen möchten, können Sie auch die Zeitumkehr verwenden und bei Ihrem endgültigen Radius und Ihrer endgültigen Geschwindigkeit "starten" und in der Zeit zurückgehen, bis Ihre spezifische Umlaufbahnenergie mit der Ihrer ursprünglichen Flugbahn übereinstimmt. Dazu müssen Sie zunächst Ihre endgültige Masse erraten, sodass Ihre Gesamtmasse zu Beginn Ihrer Verbrennung gleich ist$m$.