Verwendung des Auswahlaxioms in der Übung zur Kardinalmultiplikation

Beim Umzug von$\bigcup\{B_i\mid i\in I\}$Zu$I\times B$das musst du sicherstellen$B_i$haben eine ganz bestimmte Form:$\{i\}\times B$.

Aber wenn Sie nur eine willkürliche Familie bekommen$\{C_i\mid i\in I\}$so dass$|C_i|=|B|$für alle$i$, müssen Sie noch für jeden auswählen$i$eine Bijektion dazwischen$C_i$Und$B$. Es könnte viele solcher Bijektionen geben, und viele könnten leicht "zwei" sein.

Erinnern Sie sich an die Definitionen der Kardinalarithmetik:

1. $|A|+|B|=|A\times\{0\}\cup B\times\{1\}|$.
2. $|A|\cdot|B|=|A\times B|$.
3. $|A|^{|B|}=|\{f\mid f\colon B\to A\}|$.

Die Definition also von$|I|\cdot|B|$ist buchstäblich$|I\times B|$. Also, wenn$\aleph_0=|\Bbb N|$, das bedeutet es$\aleph_0\cdot\aleph_0$ist buchstäblich definiert als$|\Bbb{N\times N}|$, und wir wissen, wie man explizit abgleicht$\Bbb{N\times N}$mit$\Bbb N$, also bekommen wir das$\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$schließlich.

Das Problem, wie es bei diesen Dingen normalerweise der Fall ist, besteht darin, dass der Übergang von einer unendlichen Summe zu einem endlichen Produkt nicht etwas ist, das in den Definitionen verankert ist. Es ist etwas Nichttriviales. Es ist etwas, das wir beweisen müssen, wenn wir können. Und wie Sie betonen, können wir nicht auf das Axiom der Wahl verzichten, weil dies möglich ist$\Bbb R$ist die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen. Aber es ändert nichts an den endlichen Definitionen, es bedeutet nur das$|\bigcup\{B_i\mid i\in I\}|$muss nicht gleich sein$|I|\cdot|B|$.

Abschließend zu Ihrer Abfrage: Wählen Sie eine Teilmenge von aus$\beta$von Größe$\beta$erfordert nicht das Axiom der Wahl, Sie können einfach nehmen$\beta$selbst. Es ist die Auswahl von Bijektionen, die das Auswahlaxiom erfordert.

Erinnere dich daran$\aleph_0$ist eine spezifische Menge - nämlich die Menge der endlichen Ordinalzahlen. (Eine Kardinalzahl ist nur eine anfängliche Ordnungszahl, und jede Ordnungszahl ist die Menge kleinerer Ordnungszahlen.) Also$\aleph_0\times \aleph_0$ist wieder eine bestimmte Menge. Schauen Sie sich jetzt eines der Modelle an, die Sie wo erwähnen$\mathbb{R}$ist eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen$S_i$ $(i\in\omega)$. Dann$\vert \bigcup_{i\in\mathbb{N}}S_i\vert=2^{\aleph_0}$, Aber$\aleph_0\cdot\aleph_0=\vert\aleph_0\times\aleph_0\vert=\aleph_0$. Es stimmt also nicht mehr, dass die Vereinigung von$\aleph_0$-viele disjunkte Größenmengen$\aleph_0$Kardinalität hat$\aleph_0\cdot \aleph_0$.