Unendliche Menge linear unabhängiger Vektoren im endlichdimensionalen Raum

Lassen N Und M positive ganze Zahlen sein, lassen Sie v sei ein endlichdimensionaler Vektorraum, sei S = ( S 1 , … , S N ) sei eine geordnete Liste (eine Folge) von Vektoren aus v so dass S Spannweiten v , und lass L = ( ℓ 1 , … , ℓ M ) sei eine linear unabhängige Liste von Vektoren in v . Dann egal was, M ≤ N ; dh jede endliche linear unabhängige Liste ist kürzer als jede endliche aufspannende Liste.

Ich möchte beweisen, dass es für unmöglich ist L eine unendliche Folge sein. Ich denke, der folgende Algorithmus wird funktionieren; Wenn J = N + 1 , wird es in Schritt 3 einen Widerspruch geben ( S a , … , S β ) ist leer. Aber könnte es auch aus dem Theorem folgen? Genauer gesagt, nehme an L ist eine unendliche Folge. Dann L enthält eine endliche, linear unabhängige Folge der Länge M + 1 , was ein Widerspruch ist.

Meine Frage: Beruht dieser letzte Satz in irgendeiner Weise auf dem Auswahlaxiom? Und gibt es einen einfacheren Beweis, dass keine unendliche Folge in einem endlichdimensionalen Vektorraum linear unabhängig sein kann?

Algorithmus (von Axler, Die Länge jeder linear unabhängigen Liste von Vektoren ist kleiner oder gleich der Länge jeder überspannenden Liste von Vektoren. ):

  1. Satz J = 1 Und Q = S .
  2. Anspruch: für einige Folge ( S a , … , S β ) von S , Q = ( ℓ 1 , … , ℓ J − 1 , S a , … , S β ) . Auch, Q enthält N Vektoren und ℓ J ∈ v = Spanne ( Q ) .
  3. Es folgt dem Q ' = ( ℓ 1 , … , ℓ J − 1 , ℓ J , S a , … , S β ) ist linear abhängig. Daher ein Vektor in Q ' in der Spanne der vorangehenden Vektoren in der Liste liegt. Dies kann kein Vektor sein L , seit der Folge ( ℓ 1 , … , ℓ J ) von L ist linear unabhängig, also ( S a , … , S β ) ist nicht leer und enthält einen redundanten Vektor S γ .
  4. Satz Q = Q ' ∖ ( S γ ) , So Q enthält N Vektoren, einschließlich ( ℓ 1 , … , ℓ J ) . Wenn J = M , wir sind fertig. Sonst eingestellt J = J + 1 und gehe zu Anspruch 1.

Der Algorithmus terminiert seitdem M ist endlich.

Antworten (1)

Nein. Ähnlich wie das Axiom der Wahl nicht in der Aussage "eine Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich" enthalten ist.

Aber zu Ihrer speziellen Frage enthält jede unendliche Menge endliche Mengen beliebig großer Kardinalität. Ansonsten, A ist eine unendliche Menge, und B ist eine maximale endliche Teilmenge, also B ⊊ A , da das eine endlich ist und das andere nicht; aber dann nimm keine A ∈ A ∖ B , und überlegen B ∪ { A } , was eine strikt größere endliche Teilmenge von ist A .

Also insbesondere, wenn M linear unabhängig und unendlich ist, enthält es beliebig große Teilmengen, die, nun ja, linear unabhängig sind.

Das einzige, was Sie sicherstellen müssen, ist, dass es sich bei Ihrer Betrachtung Ihrer unendlichen Menge von Vektoren nicht um eine "Liste" handelt, was irgendwie impliziert, dass Sie sie als indiziert betrachten N . Es ist durchaus möglich, ein Feld (und einen endlichdimensionalen Vektorraum darüber) zu haben, das unendlich ist, aber keine zählbar unendliche Teilmenge hat.

Trotzdem geht es um unendliche Teilmengen. Keine unendlichen Listen. Dies ist also ein kleiner Punkt bei Ihrer Sprachwahl.

Hallo, ich bin kein OP, ich habe eine Frage: Sie sagten: "Es ist durchaus möglich, ein Feld zu haben, das unendlich ist, aber keine zählbar unendliche Teilmenge hat." - Das ist erstaunlich, können Sie ein Beispiel geben?
Nein, weil die Beispiele nicht konstruktiv sind (nämlich: AC, das Axiom of Choice, stimmt mit ZF überein, also können Sie nichts "Beispiel geben", was AC direkt widerspricht). Wie auch immer ich es grob beschreiben kann, es ist konsistent, dass es einen algebraischen Abschluss eines endlichen Körpers gibt, der keine abzählbar unendliche Teilmenge hat; und diese Eigenschaft bleibt unter endlichen Produkten erhalten. Also wenn F ist dann eine solche algebraische Schließung F N ist auch ohne abzählbar unendliche Teilmenge. (Hinweis: In dieser Situation hat das gegebene endliche Feld zwei nicht isomorphe algebraische Abschlüsse.)
hmmm, ich kenne einige der Begriffe nicht, die Sie verwendet haben, aber dann scheint es, dass Sie mit "abzählbar unendlicher Teilmenge" "abzählbar unendliche Teilmenge mit einer Eigenschaft" gemeint haben, richtig? Ich war überrascht, weil ich dachte, dass jede unendliche Menge immer eine abzählbar unendliche Teilmenge hat, und ich habe es gelesen, als ob Sie dem widersprechen würden.
Nein. Ich meine eine abzählbar unendliche Teilmenge. Zeitraum. Der Punkt ist, dass wir, um zu beweisen, dass "jede unendliche Menge eine abzählbar unendliche Teilmenge hat", das Auswahlaxiom verwenden müssen. Dies bedeutet, dass wir im Allgemeinen keine "explizite Beschreibung" einer abzählbar unendlichen Teilmenge liefern können, wenn eine unendliche Menge gegeben ist; aber es bedeutet auch, dass wir keine "explizite Beschreibung eines Gegenbeispiels" liefern können, wenn wir nur wissen, dass ein solches Gegenbeispiel existiert.
Ah ich sehe! Toll!! Vielen Dank.
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