Auch hier ist das Ziel zu beweisen, dass eine monotone Folge beschränkt ist, WENN UND NUR WENN sie eine beschränkte Teilfolge hat.
Die ähnliche Frage: Zeige, dass eine monotone Folge beschränkt ist, wenn sie eine beschränkte Teilfolge hat, wurde gestellt. Zeige, dass eine monotone Folge beschränkt ist, wenn sie eine beschränkte Teilfolge hat. , aber ich bin mir nicht sicher, ob und nur wenn Teil dieser Variante der Frage ist.
Meine Idee ist folgende, basierend auf dem verlinkten Beweis,
Nachweisen.
Für die Vorwärtsrichtung zitiere ich schnell die oberste Antwort aus dem ähnlichen Beitrag: „Angenommen, {an} ist monoton steigend. Der fallende Fall ist ähnlich. Beachten Sie, dass diese Folge, da sie steigend ist, nach unten durch a1 begrenzt wird. Seien wir {ani} eine beschränkte Teilfolge, so dass |ani|≤M für alle i. Sei k∈ℕ, dann für einige i, k≤ni, also . Also |ak|≤max{M,|a1|}, also ist die Folge beschränkt.“ Wie gesagt, der fallende Fall ist sehr ähnlich. Aber dieser Teil ist kein Problem.
Meine Frage ist, wie man die "umgekehrte Richtung" beweist. Ich habe wirklich überlegt, wie ich das beweisen kann. Wenn ich verstehe, was ich tun muss, muss ich zeigen, dass eine beschränkte Teilfolge eine monotone Folge impliziert. Mein Gedanke für die umgekehrte Richtung ist, dass ich zeigen muss, ob ist dann begrenzt ist ebenfalls begrenzt.
Damit habe ich zu kämpfen. Es scheint mir, dass es keine Möglichkeit gibt, zu zeigen, dass eine Folge beschränkt ist, nur indem man weiß, dass ihre Teilfolge beschränkt ist.
Lassen monoton steigend sein, also insbesondere für alle . Lassen eine beschränkte Teilfolge sein, sagen wir für alle . Wenn nicht gebunden wären, dann hätten wir das für einige , .
Aber seit nimmt zu, für alle . Insbesondere z groß genug , ein Widerspruch.
Tatsächlich ist die Vorwärtsrichtung trivial. Sie müssen nichts tun, wählen Sie einfach diese Teilsequenz als Originalsequenz aus.
Der Schlüssel der umgekehrten Richtung ist die Monotonie. WLOG, es nimmt zu. Also, wenn es einen Begriff gibt in der Mitte der ursprünglichen Folge stehen immer irgendwelche Terme dahinter, die zB zur Teilfolge gehören . Aber da die Reihenfolge zunimmt, , Wo ist eine obere Schranke der Teilfolge.
Da die Folge ansteigt, ist außerdem eine Untergrenze der erste Term der Folge.
Bemerkung: Es gibt eine gemeinsame Fähigkeit, monotone Folgen zu studieren. Sie müssen nicht beide Fälle von Erhöhung und Verringerung berücksichtigen. Wenn die Folge abnimmt, können Sie diese Folge einfach negativ betrachten, um eine ansteigende Folge zu erhalten.
Slawik Egorow
Loafer