Kardinalität der Menge reeller stetiger Funktionen

Die Kardinalität ist mindestens die des Kontinuums, denn jeder reellen Zahl entspricht eine konstante Funktion. Die Kardinalität ist höchstens die des Kontinuums, weil die Menge der reellen stetigen Funktionen in den Folgenraum einfließt$\mathbb R^N$indem jede stetige Funktion auf ihre Werte an allen rationalen Punkten abgebildet wird. Da die rationalen Punkte dicht sind, bestimmt dies die Funktion.

Das Schröder-Bernstein-Theorem impliziert nun, dass die Kardinalität genau die des Kontinuums ist.

Beachten Sie, dass dann auch die Menge der Folgen von Realzahlen die gleiche Kardinalität wie die Realzahlen hat. Dies liegt daran, dass wir eine Folge von binären Darstellungen haben$.a_1a_2..., .b_1b_2..., .c_1c_2...$, können wir sie über zusammenfügen$.a_1 b_1 a_2 c_1 b_2 a_3...$so dass eine Folge von reellen Zahlen durch eine reelle Zahl codiert werden kann.

Vermuten$f:\mathbb R\to\mathbb R$ist eine stetige Funktion. Lassen$x\in\mathbb R$. Dann gibt es eine Folge von rationalen Zahlen$(q_n)_{n=1}^\infty$das konvergiert zu$x$. Kontinuität von$f$bedeutet, dass

Nun, die Kardinalarithmetik sagt uns das$|\mathbb R^{\mathbb Q}| = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|$. (Nämlich,$(a^b)^c=a^{b\cdot c}$gilt für Kardinalzahlen.)

Lassen$x$sei eine beliebige reelle Zahl; es gibt eine reihenfolge$\langle q_n:n\in\Bbb N\rangle$von rationalen Zahlen, die gegen konvergieren$x$. Wenn$f$ist dann stetig$f(x)=\lim_{n\to\infty}f(q_n)$, So$f(x)$wird vollständig durch die Werte bestimmt$f(q_n)$für$n\in\Bbb N$und damit durch$f\upharpoonright\Bbb Q$.

Für den Kardinalitätsteil des Arguments werde ich der Gliederung folgen, die Sie in der Frage gegeben haben. Je nachdem, was Sie über Kardinalarithmetik wissen, kann es zu wesentlich kürzeren Argumenten kommen. Ich werde auch das Argument so arrangieren, dass einige Techniken verwendet werden, die allgemein nützlicher sind, wiederum vielleicht auf Kosten der Kürze.

Ich gehe davon aus, dass Sie das wissen$|\Bbb Q|=|\Bbb N|$und daher gibt es eine Bijektion$\varphi:\Bbb Q\to\Bbb N$. Dies ergibt leicht eine Bijektion$\Phi:\Bbb R^{\Bbb N}\to\Bbb R^{\Bbb Q}$: Wenn$f:\Bbb N\to\Bbb R$, Dann

Definieren Sie nun eine Karte

deutlich$N$ist injektiv (eins-zu-eins) und$N(x)$ist für jeden unendlich$x\in\Bbb R$. So dürfen wir schreiben

und es ist nicht schwer, das zu überprüfen$\nu$ist injektiv. Auf der anderen Seite die Karte, die eine Sequenz annimmt$\langle n_k:k\in\Bbb N\rangle\in\Bbb N^{\Bbb N}$zur reellen Zahl, deren Kettenbrucherweiterung ist

Offensichtlich gibt es also eine Bijektion dazwischen$\Bbb R^{\Bbb N}$Und$\left(\Bbb N^{\Bbb N}\right)^{\Bbb N}$. Führen Sie die folgenden Schritte aus, um die Argumentation so abzuschließen, wie Sie es in Ihrer Frage skizziert haben.

• Finden Sie eine Bijektion dazwischen$\left(\Bbb N^{\Bbb N}\right)^{\Bbb N}$Und$\Bbb N^{\Bbb N\times\Bbb N}$. (Allgemeiner gesagt, für alle Sätze$A,B$, Und$C$Dazwischen gibt es eine Bijektion$\left(A^B\right)^C$Und$A^{B\times C}$; Diese Tatsache ist oft nützlich und wissenswert.

• Auf die gleiche Weise, wie ich eine Bijektion zwischen gefunden habe$\Bbb R^{\Bbb N}$Und$\Bbb R^{\Bbb Q}$, zeigen, dass es eine Bijektion dazwischen gibt$\Bbb N^{\Bbb N}$Und$\Bbb N^{\Bbb N\times\Bbb N}$.

• Schließen Sie, dass es eine Bijektion dazwischen gibt$\Bbb R^{\Bbb N}$Und$\Bbb N^{\Bbb N}$und damit dazwischen$\Bbb R^{\Bbb N}$Und$\Bbb R$.

Es ist zumindest$c$, da alle konstanten Funktionen stetig sind. Betrachten Sie nun die Tatsache, dass$\mathbb{R}$ist trennbar.

Einerseits ist klar, dass die Menge aller stetigen Funktionen aus$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{R}$, was mit bezeichnet werden soll$\mathcal{C}^0$, ist so, dass:

(weil für jeden$r\in \mathbb{R}$, betrachten wir einfach die konstante Funktion$f_r:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$definiert durch: für jeden$x\in \mathbb{R},\;f_r(x)=r$. Offensichtlich die Zuordnung$r\longmapsto f_r$ist injektiv).

Andererseits wissen wir das$\mathbb{R}$ein Hausdorff-Raum ist, also wenn$f,g\in\mathcal{C}^0$sind zwei stetige Funktionen derart, dass sie in der ( dichten ) Teilmenge der rationalen Zahlen übereinstimmen , dann$f=g$(vgl. Stephen Willard, General Topology , 1970, Addison Wesley, Seite 89, 13.14).

Damit können wir die Funktion betrachten$F:\mathcal{C}^0\longrightarrow ^\mathbb{Q}\mathbb{R}$definiert durch: für jeden$f\in\mathcal{C}^0,\;F(f)=f|_\mathbb{Q}$(Wo$^\mathbb{Q}\mathbb{R}$bezeichnet die Menge aller Funktionen aus$\mathbb{Q}$Zu$\mathbb{R}$).

Aus dem vorherigen Kommentar geht das klar hervor$F$ist dann eine injektive Funktion, also:

Aus dem Satz von Cantor-Bernstein schließen wir darauf$|\mathcal{C}^0|=|\mathbb{R}|$.

Ich habe eine etwas einfache Antwort auf diese Frage. Es ist nicht so aufwendig wie das andere, aber vielleicht fügt es etwas Intuition hinzu.

Schauen wir uns die Anzahl der Funktionen an$\mathbb R^n \to \mathbb R$.

Für jedes Element in$\mathbb R^n$müssen wir ein entsprechendes Bild in auswählen$\mathbb R$. Es gibt$c$Elemente hinein$\mathbb R$, und so, wenn es gibt$\alpha$Elemente hinein$\mathbb R^n$, es gibt$\alpha c$Funktionen (nicht kontinuierlich! nur Funktionen) aus$\mathbb R^n \to \mathbb R$.

Lassen Sie uns alpha finden: Für das erste Element in an$n$Vektor haben wir$c$Wahlen, für die zweite$c$Entscheidungen, für die dritte$c$Entscheidungen usw. insgesamt$c^n=c$Auswahlmöglichkeiten.

Also insgesamt gibt es$c^{n+1}=c$Funktionen ab$\mathbb R^n \to \mathbb R$.

da die kontinuierlichen Funktionen eine Teilmenge dieser Menge sind, gibt es HÖCHSTENS $c$stetige Funktionen.

Schauen wir uns nun die Funktion an$f(x)=\xi ||x||_2$Wo$\xi$ist eine reelle Zahl,$x$ist ein$n$Vektor und$||x||_2$ist die euklidische Norm des Vektors$x$.

Diese Funktion$f$ist kontinuierlich, egal welche$\xi$wir pflücken. Wir haben$c$Optionen zur Auswahl, und so umfasst der Satz stetiger Funktionen alle Funktionen des Formulars$f(x)=\xi ||x||_2$und so ist es MINDESTENS $c$.

Da ist es höchstens$c$, und mindestens$c$, die Schlussfolgerung ist, dass es genau so ist$c$.