Wie man die Definition der Kardinalpotenzierung versteht

Wenn Sie „normale Exponentiation“ sagen, können Sie an natürliche Zahlen, reelle Zahlen, komplexe Zahlen und so weiter denken.

Angenommen, Sie meinen natürliche Zahlen, wollen wir ein kohärentes Verhalten von unendlichen Mengen zu den Gesetzen, die wir für endliche Mengen herausgefunden haben. Insbesondere wollen wir$|A^B| = |A|^{|B|}$.

Betrachten wir zunächst die Grundgesetze der Kardinalarithmetik:

1. $|A|+|B| = |\{0\}\times A\cup\{1\}\times B|$, das heißt Addition von Kardinälen ist die disjunkte Vereinigung von Repräsentanten.

2. $|A|\cdot|B| = |A\times B|$, d. h. die Multiplikation ist die Kardinalität des Produkts.

3. $|A|^{|B|} = |A^B|$. Dies ist das Goldstück in dieser Frage, und wir werden dies im Rest dieser Antwort besprechen.

Natürlich wollen wir, dass sich diese Aktionen in Kohärenz mit endlichen Aktionen verhalten. Multiplikation ist distributiv gegenüber Addition, Exponentiation gegenüber Multiplikation und so weiter und so weiter. Darauf gehe ich hier nicht ein.

Warum wollen wir das? Denn wenn wir bezeichnen$n=\{0,\ldots,n-1\}$für jeden$n\in\mathbb N$, Dann$k^n$ist nur die Anzahl der Funktionen aus einem beliebigen Satz von$n$Elemente zu einem beliebigen Satz von$k$Elemente. Das bedeutet, wenn$|A|=|C|$Und$|B|=|D|$dann möchten wir das$|A^B|=|C^D|$.

Mit anderen Worten, die Kardinalität ist eine Äquivalenzrelation, und wir möchten, dass die gesamte Kardinalarithmetik unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist (zumindest wenn endlich viele Mengen beteiligt sind).

Allerdings unendliche Mengen - und insbesondere$\aleph$Zahlen - verhalten sich ganz anders als endliche Mengen. Zum Beispiel$|\{0,\ldots,n-1\}\cup\{n\}|>n$während$|\mathbb N\cup\{-1\}|=|\mathbb N|$. Umso mehr,$|\mathbb N\times\mathbb N|=|\mathbb N|$. Das bedeutet, dass einige Dinge, während sie "gleich" funktionieren, anders funktionieren werden.

Zu Ihrer letzten Frage können wir das feststellen$\{f\colon\{1,2\}\to X\}$würde einfach Funktionen entsprechen, die jedes Mal zwei Elemente auswählen. Dies ist nur die Angabe geordneter Paare auf sehr kanonische Weise -$f(1)$ist die linke Koordinate und$f(2)$ist der richtige.

Das bedeutet, dass$A^{\{0,\ldots,n-1\}}$kann als Menge von betrachtet werden$n$-Tupel aus$A$, oder$\underbrace{A\times\ldots\times A}_{n\text{ times}}$.

Das sagen uns die Gesetze der Kardinalarithmetik$|A|\cdot|B| = |A\times B|$, also haben wir das$|A^{\{0,\ldots,n-1\}}|=|\underbrace{A\times\ldots\times A}_{n\text{ times}}|=\underbrace{|A|\cdot\ldots\cdot|A|}_{n\text{ times}}=|A|^n$. Da wir es mit unendlichen Mengen zu tun haben, ist uns natürlich keine tatsächliche Zunahme der Kardinalität mehr garantiert, aber die Gesetze funktionieren genauso.

Was ist, wenn$|A|$Und$|B|$sind unendlich? Nun, wir haben bereits die Gesetze dafür, wie sich die Potenzierung verhalten soll, jetzt müssen wir sie nur noch anwenden. Wir können uns vorstellen$A^B$als$B$-Tupel von$A$, das ist jedes Element von$B$ist ein Index einer Sequenz aus$A$. Diese Sequenzen müssen weder endlich noch abzählbar sein – nicht einmal gut geordnet.

Und in der Tat sehen wir das, wenn$A=\{0,1\}$dann die Regel$|P(B)| = |\{0,1\}^B|=|\{0,1\}|^{|B|}=2^{|B|}$hält, wie wir es wollten.

Das kann man bei gegebenen natürlichen Zahlen recht einfach demonstrieren$m,n$dass der Kardinalexponent$n^m$stimmt mit der üblichen Arithmetik überein (mit dem kleinen Spitzfindigkeit, die die Definition der Kardinalexponentiation gibt$0^0 = 1$, die in der gewöhnlichen Arithmetik manchmal undefiniert bleibt). Die Grundidee ist, dass wenn$M = \{ a_1, \ldots , a_m \}$Und$|N|=n$, dann beim Aufbau einer Funktion$f: M \to N$wir haben$|N|=n$Wahlmöglichkeiten für$f(a_1)$, Und$|N|=n$Wahlmöglichkeiten für$f(a_2)$, usw. Also für jeden der$m$Elemente von$M$wir haben$n$Auswahlmöglichkeiten für den entsprechenden Wert von$f$an diesem Element, und jede unterschiedliche Folge von Auswahlmöglichkeiten ergibt eine unterschiedliche Funktion$M \to N$. Endlich in gewöhnlicher Arithmetik$n \cdots n$($m$mal) ist$n^m$.

Überzeugen Sie sich selbst davon, dass der Kardinalexponent$n^0$Ist$1$für eine natürliche Zahl$n$, beachten Sie, dass gemäß der formalen mengentheoretischen Definition$\emptyset$ist eine Funktion mit Definitionsbereich$\emptyset$, und es ist die einzige derartige Funktion. Überzeugen Sie sich selbst davon, dass der Kardinalexponent$0^m$Ist$0$für eine natürliche Zahl$m \geq 1$, beachten Sie, dass keine Funktion mit einer nicht leeren Domäne einen Bereich haben kann$\emptyset$.

Nicht nur das, einige der bekannten Regeln für die gewöhnliche Potenzierung gelten auch für die kardinale Potenzierung. Zum Beispiel:

1. $\kappa ^0 = 1$.
2. $0^\mu = 0$für$\mu > 0$.
3. $\kappa ^{\mu + \nu} = \kappa ^\mu \kappa ^\nu$;
4. $(\kappa ^\mu )^\nu = \kappa ^{\mu \nu}$; Und
5. $(\kappa \lambda)^\mu = \kappa^\mu \lambda^\mu$.

(Beachten Sie, dass wir den Binomialsatz nicht anwenden können, um zu berechnen$( \kappa + \lambda )^\mu$.)