Ist jede (möglicherweise unendliche) Summe von Kardinalzahlen definiert?

Hrbacek und Jech geben die folgende Definition der Kardinaladdition:

Meine Frage ist: bei einem indizierten Kardinalsystem$\left \langle \kappa_{i} |i\in I \right \rangle$gibt es ein System$\left \langle A_{i} |i\in I \right \rangle$von voneinander disjunkten Mengen, so dass$|A_{i}|=\kappa_{i}$für alle$i \in I$?