Kardinalarithmetische Potenzierung

Gegebene Sets$X$,$Y$, Und$Z$, mit$Z\neq\varnothing$, und eine Funktion$g\colon Y\to X$, erhalten wir natürlich eine Funktion$Z^X\to Z^Y$durch „Präkomposition“: definieren$g_*\colon Z^X\to Z^Y$von$g_*(f) = f\circ g$.]

(Sie erhalten auch eine Funktion$g^*\colon X^Z\to Y^Z$, von$g^*(f) = g\circ f$die zwei Eigenschaften hat, aber diese Funktion wird hier nicht nützlich sein ...)

Beachten Sie, dass dies sinnvoll ist:$f$ist eine Funktion$f\colon X\to Z$, Und$g$ist eine Funktion$Y\to X$, So$g_*(f)$ist eine Funktion$Y\to Z$, also ein Element von$Z^Y$.

Um das gewünschte Ergebnis mit der Annahme zu beweisen, dass$a,b\gt 0$, zeige, dass:

• Wenn$g$surjektiv ist, dann beweisen Sie das$g_*$ist injektiv; dies ist eine Eigenschaft surjektiver Funktionen.

• Wenn es eine Injektion gibt$X\to Y$, Und$X\neq\varnothing$, dann gibt es eine Surjektion$Y\to X$(und Sie müssen dafür nicht einmal das Axiom of Choice aufrufen).

Dies ist in der Tat nicht wahr. In Betracht ziehen$a = b = 0$Und$c = 1$. Dann$b \leq c$, Aber$1 = a^b > 0 = a^c$(unter Verwendung der Definitionen der Kardinalpotenzierung zur Berechnung$0^0$).

Um dies zu lösen, lassen Sie$a = |A|$,$b = |B|$,$c = |C|$und nehmen wir an, wir haben ein Element$k \in A$. WLOG, nimm$B \subseteq C$. Wir sehen das$a^b = |\{f : B \to A\}|$Und$a^c = |\{g | C \to A\}|$. Dann gegeben$f : B \to A$, definieren$h_f : C \to A$von$h_f(x) = f(x)$Wenn$x \in B$Und$k$ansonsten. Dann sehen wir das$h$ist eine 1-1-Funktion aus$\{f : B \to A\}$Zu$\{g : C \to A\}$, seit$h_f |_B = f$und damit wenn$h_f = h_{f'}$, wir haben$f = h_f|_B = h_g|_B = g$.