Bezüglich κ+κ=κκ+κ=κ\kappa+\kappa=\kappa für jede unendliche Kardinalzahl κκ\kappa

Der Punkt hier ist, was Kardinal bedeutet.

In vielen Zusammenhängen und vielleicht naiv könnte man Kardinalzahlen als anfängliche Ordinalzahlen betrachten, sodass eine Menge, die nicht gut geordnet werden kann, keine Kardinalzahl hat . Das ist in diesem Zusammenhang nicht schwer zu beweisen$\kappa+\kappa=\kappa$für jeden unendlichen Kardinal, einfach weil dies leicht für wohlgeordnete Kardinäle gilt.

In vielen Kontexten, die unterschiedlich und vielleicht auch naiv sind, betrachtet man eine Kardinalzahl als etwas, das die Kardinalität von Mengen repräsentiert. Dies kann auf verschiedene Arten erfolgen, und es spielt keine Rolle, da die Kardinalarithmetik eigentlich nur der „Quotient“ der Berücksichtigung von Sätzen und Injektionen zusammen mit Vereinigungen und Produkten ist. In diesem Fall benötigen Sie das Auswahlaxiom. Nehmen wir zum Beispiel an, dass$A$ist eine Menge, so dass wenn$B\subseteq A$Dann$B$ist endlich bzw$A\setminus B$ist endlich. Diese Art von Mengen werden als amorph bezeichnet und ihre Existenz ist konsistent mit$\sf ZF$.

Aber jetzt bedenke$|A|+|A|$, es ist der Kardinal von$A\times\{0,1\}$, die sicherlich in zwei unendliche Teilmengen aufgeteilt werden kann,$A\times\{0\}$Und$A\times\{1\}$. So,$|A|\neq|A|+|A|$In diesem Fall. Es gibt andere Beispiele, die konsistent sind.

Sageev hat das bewiesen, wenn$\kappa+\kappa=\kappa$für jeden unendlichen Kardinal im letzteren Sinne können wir ableiten, dass jede unendliche Menge eine abzählbar unendliche Teilmenge hat (was beispielsweise die Existenz amorpher Mengen verhindert). Aber gleichzeitig können wir nicht einmal beweisen, dass jede abzählbare Familie nicht leerer Mengen eine Wahlfunktion zulässt. Während also das Axiom der Wahl benötigt wird, ist seine „absolute Notwendigkeit“ hier sehr mild und schwer zu bemerken.

Wenn wir schließlich das Axiom der Wahl annehmen, kann jede Menge wohlgeordnet sein, sodass die beiden Kontexte zu einer verschmelzen, und dann können wir die Gleichheit auf einfache Weise beweisen, indem wir eine Menge durch eine beliebige Ordinalzahl ersetzen, mit der sie bijektiv ist Es.