Zählen von Teilmengen unterschiedlicher Größe einer Menge

Question

Zählen von Teilmengen unterschiedlicher Größe einer Menge

Kardinäle
Mathematik
elementare Mengenlehre

p Gruppen

Lassen $A$ eine nichtleere Menge sein, und $\mathcal{P}^*(A)$ bezeichnen die Potenzmenge von $A$ ausgenommen leerer Satz. Es liegt eine natürliche Äquivalenzrelation vor $\mathcal{P}^*(A)$ :

für $S_1,S_2\in \mathcal{P}^*(A)$ (dh $S_1,S_2\subseteq A$ ), wir sagen $S_1\sim S_2$ wenn es eine Bijektion dazwischen gibt $S_1,S_2$ .

Die Frage, um die es mir hier geht, betrifft die Anzahl der Äquivalenzklassen von $\mathcal{P}^*(A)$ unter $\sim$ . Wenn $A$ eine endliche Menge ist, dann ist die Anzahl der Äquivalenzklassen leicht ersichtlich $|A|$ ; dies kann auch nachgewiesen werden, wenn $A$ abzählbar ist, indem eine Bijektion dazwischen bereitgestellt wird $A$ und die Äquivalenzklassen von $\mathcal{P}^*(A)$ .

Frage: Wie groß ist die Anzahl der Äquivalenzklassen von $\mathcal{P}^*(A)$ unter $\sim$ Wenn $A$ ist überabzählbar unendlich?

Die Anzahl der Äquivalenzklassen in $\mathcal{P}^*(A)$ scheint intuitiv zu sein $|A|$ , aber ich bekomme keine Richtung für den Fall $A$ ist überabzählbar unendlich. Ich habe so etwas (Frage / Tatsache) in einigen Standardtexten der Mengenlehre nicht gefunden.

Eric Wofsey

Gibt es einen besonderen Grund dafür, das leere Set wegzulassen? Ihre Äquivalenzbeziehung funktioniert genauso gut, wenn Sie sie einbeziehen (es gibt nur eine weitere Äquivalenzklasse).

p Gruppen

Vermuten

| A | = 10

$|A|=10$ . Dann die Anzahl der Äquivalenzklassen in

P^{*} (A)

$\mathcal{P}^*(A)$ Ist

10

$10$ , während das Einschließen eines leeren Satzes geben wird

11

$11$ . Aus diesem Grund habe ich die leere Menge fallen gelassen und versucht zu sehen, wie wir im Allgemeinen eine Bijektion erhalten können (was nicht immer möglich ist, aus den Antworten unten).

Antworten (2)

Zählen von Teilmengen unterschiedlicher Größe einer Menge

Gibt es einen besonderen Grund dafür, das leere Set wegzulassen? Ihre Äquivalenzbeziehung funktioniert genauso gut, wenn Sie sie einbeziehen (es gibt nur eine weitere Äquivalenzklasse).
Vermuten $|A|=10$ . Dann die Anzahl der Äquivalenzklassen in $\mathcal{P}^*(A)$ Ist $10$ , während das Einschließen eines leeren Satzes geben wird $11$ . Aus diesem Grund habe ich die leere Menge fallen gelassen und versucht zu sehen, wie wir im Allgemeinen eine Bijektion erhalten können (was nicht immer möglich ist, aus den Antworten unten).

Eric Wofsey · Answer 1

Es kommt darauf an, was $A$ Ist. Tatsächlich ist (unter Annahme des Auswahlaxioms) die Anzahl der Äquivalenzklassen von $\mathcal{P}^*(A)$ für $A$ unabzählbar kann überhaupt jede unendliche Kardinalität sein, indem man wählt $A$ passend. Per Definition, wenn $|A|=\aleph_{\alpha}$ , die unendlichen Kardinalzahlen, die kleiner oder gleich sind $|A|$ genau die Kardinäle $\aleph_\beta$ für $\beta\leq\alpha$ . Also die Anzahl der unterschiedlichen Kardinalitäten von Teilmengen $A$ Ist $\aleph_0+|\alpha|$ . Hier $\alpha$ kann überhaupt jede Ordnungszahl sein, also $|\alpha|$ kann jeder Kardinal sein.

Beachten Sie, dass insbesondere z. B. ZFC diese Frage nicht beantworten kann $A=\mathbb{R}$ , da ZFC nicht feststellen kann, welche Aleph-Zahl $|\mathbb{R}|$ ist (es kann nicht einmal die Kardinalität der Ordnungszahl bestimmen $\alpha$ so dass $\aleph_\alpha=|\mathbb{R}|$ ; das kann man eigentlich nur sagen $|\alpha|\leq|\mathbb{R}|$ ).

Eigentlich für jede Nachfolgeordnung $\alpha$ weniger als $|\mathbb R|.$ Nicht, dass dies irgendetwas löst, weil ZFC nicht bestimmen kann, was die Obergrenze (z $\alpha$ ) Das $|\mathbb R|$ Ist.
Stimmt, meine Aussage ist etwas ungenau. Eine genauere Aussage wäre die bei einem Modell der Mengenlehre und einer eventuellen Nachfolgeordnung $\alpha$ In diesem Modell gibt es eine erzwingende Erweiterung, in der $|\mathbb{R}|=\aleph_\alpha$ .

Brian M. Scott · Answer 2

Wenn $|A|=\omega_\alpha$ , es gibt $\omega+|\alpha|$ Kardinalzahlen kleiner oder gleich $|A|$ und daher $\omega+|\alpha|$ Äquivalenzklassen unter $\sim$ . Daher lautet die Antwort $\max\{\omega,|\alpha|\}$ . (Ich gehe hier von dem Axiom der Wahl aus, da es sonst sehr chaotisch wird.)

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Eric Wofsey

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Antworten (2)

Eric Wofsey

Daniel Wainfleet

Eric Wofsey

Brian M. Scott

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