Wäre dies für kinetische Energie in der speziellen Relativitätstheorie richtig?

Es ist nützlich zu verstehen, wie der Ausdruck für kinetische Energie in der nichtrelativistischen Mechanik zustande kommt, und diesen für den relativistischen Fall anzuwenden. Nehmen wir an, wir haben einen stillstehenden Körper und wenden eine Kraft an$F = \frac{d(mv)}{dt}$um es in Bewegung zu bringen. Die vom Körper gewonnene Energie ist dann

$E_k = \int_0^t Fdx = \int_0^t \frac{d(mv)}{dt} dx = \int_0^tmv dv = \frac{1}{2} m v^2$

Wenn Sie dasselbe in der relativistischen Mechanik tun, müssen Sie berücksichtigen, dass der Körper um einen Faktor schwerer (oder "träger") wird$\gamma = (1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}$mit$m$jetzt funktionieren seine Ruhemasse und das Integral anders. Wenn wir die geleistete Arbeit berechnen, finden wir:

$E_k = \int_0^t Fdx =\int_0^t \frac{d(\gamma mv)}{dt} dx = \int_0^tv d(m\gamma v)$

Dieses Integral ist etwas komplizierter, führt aber zu$E_k = (\gamma -1 ) mc^2$. Körperlich muss viel mehr Arbeit geleistet werden, um den Körper zu beschleunigen, wenn er schwerer wird.

Beachten Sie, dass Sie im klassischen Fall schreiben können$E_k = \int_0^t \frac{p}{m} dp = \frac{p^2}{2m}$aber nicht mehr in der relativistischen Mechanik, wie Sie aus dem Integralausdruck oben sehen können, der wird

$\int_0^tv d(m\gamma v) = \int_0^t\frac{p}{\gamma m} dp$.

Also dein Ausdruck für$E_k$in Bezug auf das Momentum ist falsch.

Kinetische Energie in der Speziellen Relativitätstheorie ist$KE=(\gamma -1)mc^2$, Wo$\gamma$ist der Lorentzfaktor. Diese ergibt sich aus der relativistischen Gleichung für die Gesamtenergie,$E^2 = (pc)^2 + ((mc)^2)^2$; der negative Term entfernt die Ruheenergie von der Gesamtenergie.

Die galiläische kinetische Energie ist die Grenze dieses Ausdrucks für kleine Geschwindigkeiten.