Warum wird die kinetische Energie für nichtrelativistische Geschwindigkeiten nicht durch KE=mc2KE=mc2KE=mc^2 beschrieben?

Sie müssen die Ruheenergie von der Gesamtenergie abziehen, um die kinetische Energie zu erhalten, sodass die kinetische Energie für einen Körper in Ruhe Null ist. Mit anderen Worten,

$$\text{KE} = (\gamma-1)mc^2.$$ Sie werden feststellen, dass sich dieser Ausdruck auf reduziert$\frac{1}{2}mv^2$bei niedrigen Geschwindigkeiten.

(Ich hatte ursprünglich vor, dies als Antwort auf Ihre Folgefrage zu posten: Warum liefert die relativistische kinetische Energieformel falsche Ergebnisse für nicht-relativistische Geschwindigkeiten? , aber da diese jetzt geschlossen ist, werde ich sie hier posten).

Wie bereits erwähnt, haben Sie bei Ihrer Berechnung der kinetischen Energie vergessen, die Ruhemasse-Energie von der Gesamtenergie abzuziehen. Also brauchst du$\gamma-1$in dieser Gleichung nicht$\gamma$.

Lassen$E_N$sei die Newtonsche kinetische Energie, und$E_R$sei die relativistische kinetische Energie. So

$$E_N=\frac12 mv^2$$ $$E_R=(\gamma-1)mc^2$$

Wenn$v=0$,$\gamma=1$Und$E_N=E_R=0$, also stimmen die beiden Gleichungen eindeutig überein. Für klein$v>0$, wir erwarten$E_N\approx E_R$, So

$$\frac12 mv^2 \approx (\gamma-1)mc^2$$ $$v^2/c^2 \approx 2(\gamma-1)$$ Lassen$\beta=v/c$. Das wollen wir zeigen$v \ll c$, $$q=\frac{\beta^2}{\gamma-1} \approx 2$$

Jetzt

$$1/\gamma^2=1-\beta^2$$ So $$\beta^2=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$$ Somit $$q=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2(\gamma-1)}$$ $$q=\frac{\gamma+1}{\gamma^2}$$

Für klein$\beta$,$\gamma\approx 1$, und so ist$\gamma^2$, So

$$q\approx \frac{1+1}{1}=2$$

Hier ist ein halblogarithmischer Graph von$q$vs$\beta$. Wie du sehen kannst,$q$bleibt nahe bei 2 bis$\beta$wird ziemlich groß.

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Wie in Ihrer Folgefrage erwähnt, können beim Versuch der Berechnung Rundungsfehler auftreten$\gamma$,$\gamma-1$oder$q$, es sei denn, Sie verwenden Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit. Mit ein wenig Algebra ist es jedoch möglich, gute Annäherungen für diese Größen zu erhalten, indem man standardmäßige arithmetische Funktionen in einer Programmiersprache oder einen Taschenrechner verwendet, der die wissenschaftliche Notation unterstützt. (Sie können sogar mit einem einfachen Taschenrechner ohne wissenschaftliche Notation vernünftige Ergebnisse erzielen, Sie müssen nur die Dezimalstellen manuell anpassen, um die Zahlen im Bereich zu halten). Wir könnten dies mit Methoden aus der Infinitesimalrechnung tun, wie zum Beispiel Taylor-Reihenentwicklungen, aber es gibt einen einfacheren Weg.

Das Kernproblem ist, wie man einen genauen Wert von erhält$\gamma-1$Wenn$\beta$ist klein. Die Beziehung zwischen$1/\gamma$Und$\beta$ist pythagoreisch, und wir können eine einfache pythagoreische Formel verwenden, um die Dinge zu vereinfachen.

Für alle$k$,

$$(k^2+1)^2 = (k^2-1)^2 + (2k)^2$$ Lassen $$\beta=\frac{2k}{k^2+1}$$ Dann $$\gamma=\frac{k^2+1}{k^2-1}$$ Und $$\gamma-1=\frac{2}{k^2-1}$$ $$\gamma+1=\frac{2k^2}{k^2-1}$$

Substituieren in

$$q=\frac{\gamma+1}{\gamma^2}$$ wir bekommen $$q=\left(\frac{2k^2}{k^2-1} \right) \left(\frac{k^2-1}{k^2 +1}\right)^2$$ $$q=\frac{2k^2(k^2-1)}{(k^2 +1)^2}$$

Lassen$z=(k^2+1)$

Daher

$$q=\frac{2(z-1)(z-2)}{z^2}$$ $$=\frac{2(z^2-3z+2)}{z^2}$$ $$q=2(1-3/z+2/z^2)$$ oder $$q=2 - 6/(k^2+1) + 4/(k^2+1)^2$$

Also haben wir jetzt Ausdrücke für$\gamma-1$Und$q-2$das lässt sich sicher berechnen. Gegeben$k$, wir brauchen nicht einmal Quadratwurzeln zu berechnen! Aber wie können wir leicht finden$k$gegeben$\beta$? Für klein$\beta$,$k\approx 2/\beta$, und das ist eigentlich eine sehr vernünftige Annäherung für$\beta < 0.01$.

Lassen$n=2/\beta$, So

$$n=\frac{k^2+1}{k}$$ oder $$n=k+1/k$$ Beachten Sie, dass wir beide verwenden können$k$oder sein Kehrwert zu vertreten$n$(und daher$\beta, \gamma$, usw).

$$k^2+1=nk$$ die wir genau lösen können: $$k=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}$$ (Beachten Sie, dass die beiden Lösungen reziprok sind, wir wollen die größere Lösung).

Dieser genaue Wert ist für große erforderlich$\beta$, aber für solche Geschwindigkeiten können wir genauso gut die Standardformeln verwenden und nicht damit herumspielen$k$. ;)

Für kleinere Geschwindigkeiten, um mehr Genauigkeit zu erhalten als$k=n$wir können benutzen$k=n-1/n$, und wenn wir mehr Genauigkeit wollen, können wir iterieren$k \leftarrow n - 1/k$ein paar Male. Es konvergiert nicht schnell, aber es geht sogar für$\beta\approx 0.1$. Wenn Sie herausfinden möchten, wie schnell es für verschiedene konvergiert$\beta$finden Sie in diesem interaktiven Python/Sage-Skript .

Hier ist ein etwas detaillierteres interaktives Skript , das berechnet$\gamma-1$Und$q$aus$v$, mit 3 Optionen für$k$:$n$,$n-1/n$, oder der wahre Wert. Sie können Ausdrücke wie 0.1*cund c/50in das vEingabefeld eingeben. (Diese Skripte sind tatsächlich in die URL selbst kodiert und nicht auf dem SageMath-Server gespeichert).

Sie müssen den Ausdruck auf die ersten 3 Terme der Taylor-Entwicklung erweitern, z$v$klein.$v=0$ist nicht klein, sondern null, was null kinetische Energie bedeutet.

Für kleine u:$f(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}u^2$

Und auch die von Puk erwähnte Ruheenergie abziehen.