Hamiltonianer und Lagrangeianer, Euklidisch und Hyperbolisch: Sind sie verwandt?

Die Lagrangedichte eines Systems ist die Differenz seiner kinetischen Energie T und potentielle Energie v , und ist relativistisch invariant:

L = T − v

Der Hamiltonoperator desselben Systems ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie, aber nicht relativistisch invariant:

H = T + v

In der speziellen Relativitätstheorie Einstellung C = 1 Und Q = X 2 + j 2 + z 2 ermöglicht es, den hyperbolischen Minkowski-Abstand (Intervall) zwischen zwei Punkten in der Raumzeit als relativistisch invarianten Ausdruck auszudrücken:

S 2 = Q 2 − T 2

Obwohl selten verwendet, kann der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten in der Raumzeit für klassische Situationen definiert werden, ist aber natürlich nicht relativistisch invariant:

S e = Q 2 + T 2

In den letzten Wochen habe ich darüber nachgedacht, ob diese beiden Paarungen möglicherweise direkt miteinander verwandt sind.

Das heißt, ist es möglich, dass der relativistische Lagrangian zur SR-konformen hyperbolischen Interpretation der Raumzeit „gehört“, während der nicht-relativistische Hamiltonian zur weniger verbreiteten und nicht konformen euklidischen Interpretation der Raumzeit „gehört“?

Meinungen, jemand?

Ein Lagrangian ist nicht automatisch Lorentz-invariant, man muss ihn so konstruieren. Also würde ich zu einer Antwort neigen, die „Nein“ lautet, obwohl ich mich für eine tatsächliche Antwort auf jemanden verlassen werde, der dies definitiver sagen kann.
Danke! Ich werde versuchen, die Frage später neu zu formulieren, wenn ich Zeit habe. Ich wollte mich mehr darauf konzentrieren, ob es Funktionen gibt, die parallel aus der hyperbolischen und der euklidischen Ansicht abgeleitet werden können, und ob einige davon bekannt sind.

Antworten (1)

Sie verwechseln Lagrange mit der Lagrange-Dichte. Letzteres wird oft auch als Lagrange abgekürzt, bedeutet aber eigentlich etwas anderes.

Ersteres ist tatsächlich nicht Lorentz-invariant. Der einfachste Fall: Ein relativistisches freies Teilchen hat Lagrange L = − M C 2 1 − v 2 C 2 (was, wie Sie vielleicht bemerken, nicht der Fall ist T − v entweder). Es kommt ganz klar darauf an v , was nicht unveränderlich ist.

Die Lagrange-Dichte hingegen ist Lorentz-invariant.

Nützlich, danke! Ich werde versuchen, nach dem Lesen umzuformulieren. Irgendwelche Kommentare zum hyperbolischen / euklidischen Aspekt der Frage?
Karsus Ren, danke, ich habe das schnell zusammengeworfen und Ihre Referenz (und auch @DavidZaslavskys Kommentar) sind hilfreich. Ich akzeptiere Ihre Antwort, anstatt zu versuchen, sie neu zu formulieren, und werde eine neue Frage stellen, wenn es etwas gibt, das ich fragen kann.
Hamiltonianer und Lagrangeianer, Euklidisch und Hyperbolisch: Sind sie verwandt?
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