Wann ist die klassische Mechanik gültig, um die Bewegung von Atomen zu beschreiben?

Ich würde vom Ehrenfest-Theorem ausgehen,

$$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\left\langle{\frac{dV(x)}{dx}}\right\rangle$$ Erweitern der rechten Seite über $\langle{x}\rangle$, $$\frac{dV(x)}{dx}=\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}+\frac{dV(\langle{x}\rangle)^2}{d\langle{x}\rangle^2}(x-\langle{x}\rangle)+\frac{1}{2}\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}(x-\langle{x}\rangle)^2+\mathcal{O}\left(\langle{x}\rangle^4\right)$$ Jetzt, $\langle{x}-\langle{x}\rangle\rangle=0$, Und $\langle(x-\langle{x}\rangle)^2\rangle=\sigma_x^2$, also wenn $V$ändert sich langsam $x$, können wir nur die ersten Terme der Erweiterung betrachten, $$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}-\frac{1}{2}\sigma_x^2\frac{dV(\langle{x}\rangle)^3}{d\langle{x}\rangle^3}$$ und nun zur Varianz $\sigma_x^2$zu vernachlässigen, können wir annehmen, dass die Größe der Wellenfunktion viel kleiner ist als die Variation des Potentials $V$. So erhalten wir das gewünschte Ergebnis $$\frac{d\langle{p}\rangle}{dt}=-\frac{dV(\langle{x}\rangle)}{d\langle{x}\rangle}$$ Wir können dies so interpretieren, dass die räumliche Ausdehnung jeder Wellenfunktion, was praktisch die deBroglie-Wellenlänge bedeutet, viel kleiner sein muss als der Abstand von Teilchen, der die Quelle des Potentials darstellen kann $V$.