Warum bildet in einigen Fällen die 0α0α0\alpha-Komponente des Spannungs-Energie-Tensors keinen 4-Vektor?

Question

Warum bildet in einigen Fällen die 0α0α0\alpha-Komponente des Spannungs-Energie-Tensors keinen 4-Vektor?

Andrew McAddams

In der Elektrodynamik gibt es Poynting-Vektor und Energiedichte, die sich darauf beziehen $0\alpha$ Komponenten des Stress-Energie-Tensors, erzeugen keinen 4-Vektor. Analoge Situation mit Massendichte und Massenstromdichte in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Warum bilden sie also keinen 4-Vektor (mit welcher Eigenschaft ist er verbunden)?

Benutzer23660

Der

T_{0 α}

$T_{0\alpha}$ Komponenten bilden niemals einen 4-Vektor. Sie sind Bestandteile des Tensors 2. Stufe.

T_{0 i}

$T_{0i}$ andererseits bilden 3-Vektoren in Bezug auf die Transformation von nur räumlichen Koordinaten.

Andrew McAddams

@ user23660: Ich meinte die integrale Darstellung des Impulsvektors aufgrund der Spannungs-Energie-Tensorkomponenten

0 α

$0\alpha$ .

Ján Lalinský

Ich denke, dass im Fall von EM-Feld, die

T_{0 α}

$T_{0\alpha}$ Komponenten bilden einen Vierervektor, wenn keine Ströme vorhanden sind, da

\partial^{α} T_{0 α} = 0

$\partial^\alpha T_{0\alpha} = 0$ in jedem Inertialsystem.

Antworten (1)

Warum bildet in einigen Fällen die 0α0α0\alpha-Komponente des Spannungs-Energie-Tensors keinen 4-Vektor?

Der $T_{0\alpha}$ Komponenten bilden niemals einen 4-Vektor. Sie sind Bestandteile des Tensors 2. Stufe. $T_{0i}$ andererseits bilden 3-Vektoren in Bezug auf die Transformation von nur räumlichen Koordinaten.
@ user23660: Ich meinte die integrale Darstellung des Impulsvektors aufgrund der Spannungs-Energie-Tensorkomponenten $0\alpha$ .
Ich denke, dass im Fall von EM-Feld, die $T_{0\alpha}$ Komponenten bilden einen Vierervektor, wenn keine Ströme vorhanden sind, da $\partial^\alpha T_{0\alpha} = 0$ in jedem Inertialsystem.

Valter Moretti · Answer 1

Vielleicht habe ich deine Frage nicht verstanden. In Bezug auf den Stress-Energie-Tensor ist der gewünschte Vierervektor jedoch:

S_{v} = \int_{Σ_{T}} T_{0 v} D^{3} X

$S_\nu = \int_{\Sigma_t} T_{0\nu} d^3x$

Wo $\Sigma$ ist der Rest 3-Raum $x^0=t$ des Minkowski-Bezugssystems mit Koordinaten $x^0,x^1,x^2,x^3$ . Angesichts der Relation $\partial_\mu T^{\mu \nu}=0$ Die Definition von $S$ hängt nicht (1) vom verwendeten Minkonski-Referenzrahmen, (2) vom Wert von ab $t$ , (3) es definiert einen Vierervektor, und (4) es ist erhalten: $\partial_\mu S^\mu=0$ .

All dies gilt, wenn die Region in der Raumzeit wo ist $T \neq 0$ hat mit jedem solchen einen kompakten Schnittpunkt $\Sigma_t$ (es reicht aus, dass einer von ihnen für alle und für alle Referenzrahmen gültig ist). Diese Bedingung kann jedoch abgeschwächt werden.

Die Beweise für alles, was ich geschrieben habe, ergeben sich leicht aus dem (vierdimensionalen) Divergenzsatz.

HINWEIS HINZUGEFÜGT. Alle obigen Diskussionen gelten in der Minkowski-Raumzeit, in der gekrümmten Raumzeit wird das Bild komplizierter. In einer global hyperbolisch gekrümmten Raumzeit wird ein konservierter Strom aus einem symmetrischen konservierten Spannungsenergietensor in Gegenwart eines Killing-Vektors erhalten $\xi$ . Dann $J^\mu:=\xi_\nu T^{\nu\mu}$ überprüft $\nabla_\nu J^\nu=0$ . In diesem Fall

Q := \int_{Σ} J^{μ} N_{μ} D μ

$Q:= \int_\Sigma J^\mu n_\mu d\mu$ ist eine konservierte "Ladung", die unabhängig von der raumartigen Cauchy-Oberfläche ist

Σ

$\Sigma$ . Über

μ

$\mu$ ist das natürliche Maß, das auf induziert wird

Σ

$\Sigma$ durch die Metrik der Raumzeit und

n

$n$ der Einheitsnormalen-Co-Vektor. Die Komponenten von

S^{μ}

$S^\mu$ oben haben diese Struktur,

ξ_{ν}^{(μ)}

$\xi^{(\mu)}_\nu$ wobei es sich um die konstanten Vektorfelder in der Minkowski-Raumzeit handelt, die einem Minkowski-Referenzrahmen zugeordnet sind.

Aber es gibt eine kleine Frage: wie genau Beziehung $\partial_{\mu}T^{\mu \nu}$ definiert $S_{\nu}$ aus Ihrer Antwort als 4-Vektor?
Betrachten Sie zwei verschiedene Minkowski-Referenzsysteme $J$ Und $J'$ verbunden durch eine gewisse Lorentztransformation, $\Lambda$ , und definieren Sie die entsprechenden vier Zahlen $S_\mu$ Und $S'_\alpha$ unter Verwendung des gleichen Tensors $T$ und Integrieren über den jeweiligen Ruheraum. Dann der Divergenzsatz, die Beziehung $\partial_\nu T^{\nu\rho}=0$ , und die Tatsache, dass $T$ ist ein Tensor führen zu $S'_\alpha = \Lambda_\alpha^\beta S_\beta$ .
Diese Definition hängt jedoch von der Existenz eines Minkowski-Bezugssystems ab. Im vollen GR muss darauf geachtet werden, was dieses Integral bedeutet.
@JerrySchirmer: In GR müssen wir das Integral nehmen $\int (-g)(T^{0 \nu} + \tau^{0 \nu})d^{3}x$ , Wo $\tau$ ist Landau-Lifshitz-Pseudotensor.
@AndrewMcAddams: und Sie müssen auf die Einheit normal projizieren, anstatt nur die 0-Komponente zu fragen, und Sie müssen immer definieren, was Sie unter einem vektorwertigen Integral verstehen, da unklar ist, zu welchem Tangentenraum es gehört. Selbst wenn Sie so etwas wie das Definieren des ADM-Impulses tun, enden Sie mit Müll, es sei denn, Sie projizieren auf eine Tetrade, die Ihre physikalische Geometrie mit einer flachen auf der Oberfläche verbindet, auf der Sie das Integral berechnen. Es ist nicht trivial.
@Jerry Schirmer Sicher! Ich habe all diese Fragen in der Minkowski-Raumzeit interpretiert! In einer global hyperbolisch gekrümmten Raumzeit braucht man auch einen Killing-Vektor $\xi$ . Ein erhaltener Strom ist dann $J^\mu := \xi_\nu T^{\nu\mu}$ (wobei der Spannungs-Energie-Tensor symmetrisch sein soll). In diesem Fall $\int_\Sigma J^\mu n_\mu \sqrt{\det{h}} d^3x$ ist eine konservierte "Ladung", die unabhängig von der Cauchy-Oberfläche ist $\Sigma$ .
Ich habe meiner Antwort einen entsprechenden Hinweis hinzugefügt.
@V.Moretti: "...dann der Divergenzsatz, die Beziehung $\partial_{\nu}T^{\nu \rho} =0$ , und die Tatsache, dass $T$ ist ein Tensor führen zu $S′_{\alpha}= \Lambda^{\beta}_{\alpha}S_{\beta}$ ...", aber warum brauchen wir den Divergenzsatz, um das zu zeigen $S_{\alpha}$ ist ein 4-Vektor? Es ist nur möglich, Ihre Definition in Form von umzuschreiben $S v = \int t = c o n s t, aller Raum______T μ ν Σ μ,$ $S^{\nu} = \int_{t = const, all space} T^{\mu \nu}\Sigma_{\mu},$ was das zeigt $S^{\nu}$ bezieht sich auf 4-Vektor.
@Andrew McAddams Nein, es funktioniert nicht. Sie sollten zuerst einen Satz von vier Komponenten für jede Minkowski-Referenz definieren und integrieren $T$ auf dem entsprechenden Ruherahmen. Als nächstes müssen Sie beweisen, dass sich diese Mengen von Komponenten mit den richtigen Lorentz-Transformationen transformieren. Dies ist keineswegs offensichtlich, und die Erhaltungsbeziehung spielt eine grundlegende Rolle, um dies zu beweisen.
@V.Moretti: so definiere ich $S 1 v = \int T 0 v D Σ 0 t = c o n s t, S 2 μ = \int T 0μ_' D Σ' 0 t = c o n s t,$ $S^{1}_{\nu} = \int T_{0 \nu}d\Sigma^{0}_{t= const}, \qquad S^{2}_{\mu} = \int T_{0 \mu}{'}d\Sigma{'}^{0}_{t = const},$ $T 0μ_' D Σ 0' = Λ β μ T 0β_D Σ 0,$ $T_{0 \mu}{'}d\Sigma^{0}{'} = \Lambda_{\mu}^{\quad \beta}T_{0 \beta}d\Sigma^{0},$ und dann $S 2 μ = \int Λ v μ T 0 v D Σ 0 t = c o n s t .$ $S^{2}_{\mu} = \int \Lambda_{\mu}^{\quad \nu}T_{0 \nu}d\Sigma^{0}_{t = const}.$ Also, wo im nächsten Schritt muss ich die Beziehung verwenden $\partial_{\mu}T^{\mu \nu} = 0$ um das zu beweisen $S_{\mu}$ ist ein 4-Vektor?
Obwohl die Identität $T' d\Sigma' = \Lambda T d\Sigma$ ist in einem Punkt richtig, sagen wir $p$ , das Endergebnis ist nicht, weil Sie auf zwei verschiedene integrieren $3$ -Oberflächen, die sehr weit voneinander entfernt sind, sobald Sie sich von ihnen entfernen $p$ . Um diese Integrale zu verbinden, müssen Sie den Divergenzsatz und die Erhaltungsgleichung verwenden.

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