Welche Bedeutung hat die konforme Invarianz der Elektrodynamik in einer kovarianten Formulierung?

Ich bin verwirrt über die Rolle von Symmetrietransformationen in einer kovarianten Formulierung.

Es kann gezeigt werden, dass die Maxwell-Gleichungen unter konformen Transformationen invariant sind. Siehe zB hier: https://arxiv.org/abs/hep-th/9701064 Man würde also sagen, dass die Symmetriegruppe (die Gruppe von Operationen, unter der ein Objekt unverändert bleibt) von Maxwells Gleichungen die konforme Gruppe ist.

Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie ist jedoch jede kovariant formulierte Theorie invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen. Soweit ich weiß, ist eine allgemeine Koordinatentransformation jeder Diffeomorphismus (invertierbare glatte Karte mit glatter Umkehrung) zwischen Koordinaten. Wenn ich das richtig verstehe, sollte eine konforme Transformation (die eine Koordinatentransformation ist, die die Metrik nur bis zu einem Gesamtfaktor ändert) auch eine allgemeine Koordinatentransformation sein.

Würde dies nicht bedeuten, dass die Symmetriegruppe jeder kovariant formulierten Theorie die Gruppe aller allgemeinen Koordinatentransformationen ist? Wenn ja, bleibt etwas Besonderes an der Tatsache übrig, dass die Maxwell-Gleichungen unter konformen Transformationen unveränderlich sind? Oder wäre die einzige Besonderheit, dass diese Symmetrie sogar in einer nicht-kovarianten Formulierung gilt?

BEARBEITEN: In Formeln ist mein derzeitiges Verständnis das unter einer allgemeinen Koordinatentransformation

$$\begin{equation} x \rightarrow x'(x), \end{equation}$$ Maxwellsche Gleichungen $$\begin{equation} \nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu,~\nabla_{[\mu}F_{\nu\lambda]}=0 \end{equation}$$ ändern als $$\begin{equation} \nabla_\mu' {F'^{\mu\nu}}=J'^\nu,~\nabla_{[\mu}'F'_{\nu\lambda]}=0. \end{equation}$$ Und würden sie sich zB unter einer konformen Transformation oder zB einer Galilei-Transformation so ändern? Wenn ja, gibt es eine Möglichkeit, diese Transformationen von Koordinatentransformationen zu unterscheiden?

EDIT 2: Leider beantwortet die folgende Antwort meine Frage immer noch nicht vollständig. Der Grund ist, dass ich eine mathematisch genaue Aussage brauche, warum sich eine winkeltreue Transformation von einer allgemeinen Koordinatentransformation unterscheidet oder nicht.

Angenommen, wir haben eine Koordinatentransformation, die durch einen Diffeomorphismus induziert wird$f:M\rightarrow M$Wo$M$ist unsere Raumzeit-Mannigfaltigkeit, die einen Rückzug auf die Metrik und ihre Vektorfelder induziert. Wenn es richtig ist, was in der Antwort unten steht (dass eine Koordinatentransformation Ausdrücke wie$v^i v^j g_{ij}$), dann sollte es den Pullback induzieren

$$\begin{equation} (f^*)^{(-1)}g(f_* X,f_* Y)|_p = g_p(X_p, Y_p), \end{equation}$$ was gehen würde $g(X,Y)$unveränderlich.

Nehmen wir nun an, wir haben eine konforme Transformation (oder Rotation oder Lorentz trf usw.), die als Diffeomorphismus definiert ist und die Metrik bis auf einen Gesamtfaktor invariant lässt, bedeutet dies, dass diese Transformation nur auf die Metrik als wirkt

$$\begin{equation} f^*g(X,Y)|_p=g_p(f_* X_p, f_* Y_p)=\Omega(p) g_p(X_p,Y_p)? \end{equation}$$ Wenn ja, wüsste ich nicht, warum sich der Diffeomorphismus nicht auswirken sollte $X$Und $Y$auch direkt? Gibt es einen Grund für die Nichtaktion auf den Vektorfeldern? Oder gibt es eine Wirkung auf die Felder, aber es gibt noch eine andere Art, wie Transformationen im Allgemeinen wirken?