Warum folgt die Erde eher einer elliptischen Bahn als einer parabelförmigen?

Nun, das gilt nicht auf der Umlaufbahn der Erde. Die Gravitationskraft kann als konstant angesehen werden, da der Abstand zwischen Erde und Sonne ebenfalls als konstant angesehen werden kann

Sie haben Recht, dass die Stärke oder Größe des Gravitationsfeldes der Sonne über die Länge der Erdumlaufbahn sehr ähnlich ist, die Richtung jedoch nicht. In einem einheitlichen Gravitationsfeld wäre die Richtung überall gleich.

Über der Bahn der Erdbahn zeigt das Gravitationsfeld der Sonne in unterschiedliche Richtungen. Dieser signifikante Unterschied zu einem gleichförmigen Feld bedeutet, dass die Erdumlaufbahn ziemlich weit von einer Parabel entfernt ist.

Die Gravitationskraft kann als konstant angesehen werden, da der Abstand von der Erde zur Sonne ebenfalls als konstant angesehen werden kann, was nach Newtons zweitem Gesetz bedeutet, dass die Beschleunigung der Erde ebenfalls konstant ist. Würde das nicht bedeuten, dass die Erde einfach einer Parabelbahn folgen sollte?

Nein, die Gravitationskraft der Sonne auf der Erde ist aus zwei Gründen keine Konstante:

• es ändert die ganze Zeit die Richtung, das heißt, es ist immer auf die Sonne zu, während sich die Erde (im Bezugssystem der Sonne) um sie dreht, und
• es ändert sich in seiner Größe, wenn die Erde näher und weiter weg kommt. Dies liegt daran, dass die kinetische Energie der Erde aufgrund ihrer Orbitalbewegung am Aphel nicht groß genug ist, um sie auf einer kreisförmigen Umlaufbahn mit diesem Radius bewegen zu lassen. Und am Perihel ist es zu groß, um sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn des Perihelradius zu bewegen. (Und überall dazwischen ist der Geschwindigkeitsvektor nicht senkrecht zum Radialvektor zwischen Erde und Sonne.)

Wenn sich die Erde parabelförmig um die Sonne bewegen würde, wäre sie nicht in einer geschlossenen Umlaufbahn. Es würde einmal an der Sonne vorbeigehen und nie wieder zurückkehren. Denn um eine parabolische Umlaufbahn mit Newtonscher Gravitation zu haben,

Gibt es einen mathematischen Beweis (ähnlich dem, den ich über Projektile erwähnt habe), der die elliptische Umlaufbahn als Ergebnis angibt?

Ja, und es kann an mehreren Stellen gefunden werden, normalerweise in Büchern über klassische Mechanik (und sogar über technische Mechanik) der Universität im zweiten Studienjahr. Siehe Bücher von Symon, Marion, Beer & JOhnston, Barger & Olsson, Taylor, um nur einige vorzuschlagen. Es ist eine Standardableitung, die Kalkül beinhaltet, und es ist zu lang, um sie hier im Detail zu beschreiben.

Und tatsächlich folgt ein Projektil auf der Erde auch einer elliptischen Bahn um den (ungefähr) Mittelpunkt der Erde. Wir approximieren die Newtonsche Gravitation als konstante Größe, konstante Richtungskraft für kleine Flächen (wie Fußballfelder) und erhalten die parabolische Form, die eigentlich eine gute Annäherung an einen kurzen elliptischen Pfad ist.

Die Bahnen der Projektile sind in der Nähe der Erde nicht wirklich parabolisch. Eine Parabel impliziert keine konstante Gesamtgeschwindigkeit. Eine Parabel ist eine konstante Geschwindigkeit in einer Richtung und eine Beschleunigung in einer senkrechten Richtung.

Auf der kleinen Skala der meisten ballistischen Probleme ist die Erde viel größer als die Flugbahn des Geschosses. In einem solchen Maßstab kann die Erde als Ebene angenähert werden. Während die Schwerkraft Projektile zum Erdmittelpunkt zieht und daher eine Richtung ist, die sich für jedes sich bewegende Objekt ändert, ändert sich diese Richtung nicht von gerade nach unten, wiederum in solch kleinen Maßstäben. Die Beschleunigung ist gerade nach unten, es gibt keine Querbeschleunigung, daher ist das Ergebnis in enger Annäherung parabolisch. Wenn Sie den Pfad genau beobachten würden und er durch die Erde "fallen" könnte, würde er einem elliptischen Pfad folgen.

Die eigentliche Gleichung lautet:

Die c's sind Konstanten, die von der Masse der Erde, dem Drehimpuls (eine Konstante der Bewegung) und der Masse des Projektils abhängen.

$r$ist der Abstand des Geschosses vom Erdmittelpunkt. Theta ist das gleiche Theta aus Polarkoordinaten.

Lassen:$L=mr^2\dot{\theta}$.

$L$ist der Drehimpuls des Projektils um die Erde.$\dot{\theta}$ist die Winkelgeschwindigkeit entlang der Trajektorie.

Der Drehimpuls ist zeitlich konstant. Die Ableitung beider Seiten gibt Ihnen einige Informationen über die zeitliche Entwicklung des Systems.

Wenn Sie die Nullkoordinate Ihres Thetas richtig eingestellt haben, können Sie davon ausgehen$c_1=0$.

neu ordnen:

Man könnte dies als Gleichung in Polarkoordinaten eines Kegelschnitts erkennen, wobei der Ursprung des Koordinatensystems im Brennpunkt liegt.

Dies tun,$c_2/c_0$bestimmt die Exzentrizität Ihrer Flugbahn. Dieser Parameter gibt Ihnen die Form des Projektilwegs an: Orbitale Exzentrizität

Mir wurde beigebracht, dass, wenn die Beschleunigung, die ein Körper erfährt, konstant ist, dieser Körper einer parabolischen Kurve folgt

Der letzte Teil ist falsch.

Unter zentraler Kraft folgt der Körper einer Art Kegelschnitt . Eine Parabel ist eine Art Kegelschnitt. Eine Ellipse ist eine andere. Ein Kreis ist noch ein anderer.

Ob Sie einem Kreis, einer Ellipse oder einer Parabel folgen, hängt von den Anfangsbedingungen ab – dem Betrag der Kraft und der Winkelgeschwindigkeit.

Aber ganz allgemein folgen Körper keiner Parabel, sondern einem Kegelschnitt.

Die Gravitationsbeschleunigung wirkt in Richtung des Massenmittelpunkts und folgt dem Gesetz des umgekehrten Quadrats. Dadurch werden alle wahren Trajektorien entweder elliptisch oder hyperbolisch (abhängig von der Geschwindigkeit des Objekts relativ zur Fluchtgeschwindigkeit des darauf wirkenden Körpers).

Wenn wir die Bewegung von Objekten in der Nähe der Erdoberfläche untersuchen, die sich über kurze Entfernungen bewegen, ist der Masseschwerpunkt der Erde sehr weit entfernt, sodass die Schwerkraft gleichmäßig zu wirken scheint – fallende Objekte folgen parallelen Pfaden und die Beschleunigung ändert sich nicht mit der Höhe. Unter diesen Bedingungen sind Flugbahnen parabelförmig. Aber das sind nur Näherungswerte, weil die Entfernungen, über die Bewegungen beobachtet werden, im Verhältnis zum Massenmittelpunkt der Erde so klein sind. Mit anderen Worten, die quadratische Formel und die parabolische Bewegung gelten, wenn Sie Annahmen über die Richtung und Gleichmäßigkeit des Gravitationsfelds treffen, aber diese Annahmen sind nur im kleinen Maßstab (relativ zur Gravitationsquelle/Entfernung) nützlich.

Die Bewegung der Erde um die Sonne könnte auch als Parabel angenähert werden, aber die Annäherung wäre nur über kurze Entfernungen gültig. Wenn Sie einen Kometen in einer stark elliptischen Umlaufbahn um die Sonne betrachten, könnte das Segment seiner Bahn bei oder in der Nähe der Apoapsis als parabolisch angenähert werden, aber es ist nur eine Annäherung.

Ebenso kann die Projektilbewegung "über dem Horizont" nicht einfach als Parabelbahn angenähert werden. Zum Beispiel: Schlachtschiffkanonen wurden so weit entwickelt, dass sie Granaten über Dutzende von Kilometern abfeuern konnten. Abgesehen von aerodynamischen/Wind-Effekten ist ein Parabelbogen keine angemessene Darstellung der Bahn der Granate, da die Krümmung der Erdoberfläche und der Unterschied in der Richtung „nach unten“ über die Entfernung der Granate signifikant werden.

Eine Mathematik/Geometrie-Perspektive

Bedenken Sie, dass Ellipse, Parabel und Hyperbel allesamt Kegelschnitte sind, die sich durch Exzentrizität voneinander unterscheiden (der Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse mit einer Exzentrizität von Null). Die Umstände eines gegebenen Trajektorienproblems bestimmen die Exzentrizität und damit den geeigneten Kegelschnitt. Im Fall der "alltäglichen" Physik wird die Entfernung zum Schwerpunkt der Erde auf unendlich angenähert; dadurch wird die Exzentrizität auf 1 gesetzt und die Trajektorie nimmt die Form einer Parabel an. Für das Problem "über dem Horizont" kann die Entfernung zum Baryzentrum der Erde nicht als unendlich angenommen werden, daher nimmt die Flugbahn die Form einer Ellipse an.

Ich versuche, zum Kern Ihrer Frage zu kommen. Es gibt wahrscheinlich einen mathematischen Weg, um von einer parabolischen Projektilflugbahn zu einer Umlaufbahn zu gelangen, egal ob sie im Grunde kreisförmig oder elliptisch ist, aber ich habe noch nichts davon gehört. Abgesehen von der Atmosphäre, wenn die Projektilgeschwindigkeiten immer höher werden, wird es einen Punkt erreichen, an dem die Kurve, die das Projektil nimmt, ziemlich genau die gleiche wäre wie die Kurve der Erde, kreisförmig. Selbst mit einer ballistischen Flugbahn, denke ich, wenn der Großteil der Erde ihr nicht im Weg wäre, hätte sie einen elliptischen Pfad um den Erdmittelpunkt.

Die Erde folgt keiner parabelförmigen Bahn, weil wir sie sonst nicht beobachten könnten. Wir würden nicht existieren, um es zu beobachten. Wir konnten es nicht beobachten, weil andere Bahnen es der Erde nicht erlauben, lange genug in einem Abstand zur Sonne zu bleiben, der es dem Leben ermöglicht, sich zu entwickeln.

Dies verwendet das anthropische Prinzip , das häufiger verwendet wird, um zu erklären, warum die physikalischen Konstanten Werte haben, die es dem Leben ermöglichen, sich zu entwickeln.

Diese Idee hat ein gewisses Maß an Absurdität, aber ich denke, sie ist weniger als völlig absurd.