Sei ZFC2 die Formalisierung zweiter Ordnung von ZFC.
Das Axiomschema zweiter Ordnung des Verständnisses (Teil des deduktiven Systems für SOL) besagt, dass es für jede Formel (von SOL) eine Beziehung mit derselben Erweiterung gibt (Shapiro 1991).
Wenn wir ZFC2 formalisieren, dann besteht die Domäne aus allen Mengen und die Quantoren zweiter Ordnung erstrecken sich über alle Teilmengen der Domäne. Aber was verhindert dann, dass Russells Paradoxon entsteht?
Ich weiß, dass dies nicht der Fall ist, da ZFC2 der Morse-Kelley-Mengentheorie entspricht.
In der Logik zweiter Ordnung lautet das Verständnisschema (der Einfachheit halber werden nur unäre Prädikatvariablen berücksichtigt):
∃X∀x [ ϕ(x) ↔ X(x) ] ,
wobei x eine individuelle Variable ist, X eine 1-stellige Prädikatsvariable ist und X nicht frei in ϕ vorkommen darf .
Was verhindert, dass die Form Russells Paradox erzeugt ?
Zwei Fakten:
(i) Wir können x nicht durch X ersetzen .
Eine so-Sprache für Mengen muss individuelle Variablen x für Mengen und unäre Prädikatsvariablen für Klassen verwenden . Also muss x ∈ A als A(x) formalisiert werden, und wenn wir es als ϕ(x) verwenden , erhalten wir:
∃X∀x [ ~A(x) ↔ X(x) ] .
(ii) die Bedingung, dass X möglicherweise nicht frei in ϕ ist , verhindert die Verwendung von ~X(x) , um zu erhalten:
∃X∀x [ ~X(x) ↔ X(x) ] .