Es gibt viele Sets mit einem einzigen Objekt, zum Beispiel das Set, das nur die Freiheitsstatue enthält, oder das Set, das meine Kopie von Catch-22 enthält.
Aber wie viele Sets gibt es, die nichts enthalten?
Auf den ersten Blick scheint es genau den einen zu geben. Die leere Menge ist einzigartig in ihrer Besonderheit, da sie nichts enthält, um sich zu unterscheiden.
Andererseits könnte man sagen, dass es viele leere Mengen gibt und dass sie alle identisch sind – wie bei isomorph – aber nicht identisch – da sie genau gleich sind. Um dies konkreter zu machen, stellen Sie sich Jamila und Jemima vor, die jeweils einen Korb tragen, und in Jamilas Korb ist ein Smaragd und in Jemimas Korb ist ein Rubin. Der Inhalt ihrer Körbe ist also nicht identisch. Wenn sie ihre Körbe ausleeren. Der Inhalt des Korbs ist jetzt identisch (isomorph), aber die beiden Körbe sind nicht identisch.
Welche Ansicht ist genauer?
Ist es richtig, in formalisiertem ZFC zu sagen, dass es nur eine leere Menge gibt?
Ist es richtig zu sagen, dass es in der kategorialen Mengentheorie, sagen wir ETCS, viele leere Mengen gibt, aber alle isomorph sind?
Ich interessiere mich weniger für die "formalen" Teile der Frage als für die konzeptionellen Argumente über die Eindeutigkeit oder Nicht-Eindeutigkeit leerer "Mengen" - wo Mengen nicht wie in ZFC gedacht werden sollten
Es stellt sich heraus, dass es in ETCS mehr als eine leere Menge gibt (und da sie initial sind), sind sie auch alle isomorph zueinander. Siehe die Antwort auf diese Frage
Bei ZFC haben wir zwei Axiome, die diese Frage klären:
Leerer Satz . Es gibt eine Menge, die nichts enthält.
Extensionalität . Wenn die Mengen A und B genau die gleichen Mitglieder haben, dann ist A = B.
Das Leere-Menge-Axiom erlaubt uns den Schluss, dass es eine leere Menge gibt. Angenommen, es gibt zwei leere Mengen A und B. Leer ist jedes Mitglied von A ein Mitglied von B (da A keine Mitglieder hat) und umgekehrt. Daher folgt aus dem Extensionalitätsaxiom, dass A und B dieselbe Menge sind. Diese Axiome (Existenz und Extensionalität) garantieren dabei, dass es genau eine leere Menge (meist mit '∅' bezeichnet) gibt.
Ich bin mit ETCS überhaupt nicht vertraut, daher werde ich diesen Teil der Frage nicht kommentieren.
Mozibur hat bereits eine zufriedenstellende Antwort auf die konzeptionelle Frage gegeben, daher zitiere ich:
Die leere Menge ist einzigartig in ihrer Besonderheit, da sie nichts enthält, um sich zu unterscheiden.
Da ZFC Sets nach ihrem Inhalt unterscheidet, sind zwei beliebige leere Sets nicht zu unterscheiden, da keines etwas enthalten kann, was das andere nicht hat. Da die beiden leeren Körbe in der Körbe-Analogie unterschiedliche Positionen haben, möchten wir sagen, dass es sich um zwei unterschiedliche leere Körbe handelt. Aber da sich Sets für ZFC nicht in der Raumzeit befinden, sind die beiden Körbe identisch, weil man in der Sprache von ZFC nicht über den einen etwas Wahres sagen kann, das über den anderen falsch ist.
Die Extensionalität in ZFC trimmt das Universum, indem sie zwei beliebige Dinge identifiziert, die dieselben Mitglieder haben, was es uns ermöglicht, solche Dinge eindeutig zu benennen wie die leere Menge ∅, die Schnittmenge zweier Mengen A ∩ B, das geordnete Paar von zwei Mengen (A, B) und so weiter. In einem Universum mit vielen leeren Mengen würde die Definition von „∅“ komplizierter werden, weil wir es mit der Klasse aller leeren Mengen identifizieren müssten, und diese Komplikation würde die Definitionshierarchie ganz nach oben kriechen.
Da der mathematische Punkt oben angesprochen wurde, kommentiere ich nur die ontologische Seite: Man könnte die gleiche Frage zu allem stellen, von der Zahl 1 bis zu Menschen. Gibt es nur die eine Zahl 1 oder gibt es viele isomorphe mathematische Objekte mit ihren Eigenschaften? Gibt es nur ein Ich, oder gibt es viele andere isomorphe (nach einer gewissen Übereinstimmung, welche physischen Objekte isomorph sind) Ichs?
Da ich bezweifle, dass man einen Grund dafür finden kann, eine Vielzahl solcher Objekte zu haben (außer möglicherweise, wenn man über modale Identität spricht), ist es wahrscheinlich am besten, nur ein solches Objekt in seiner Ontologie zu haben.
Es gibt nur eine leere Menge.
Zwei Sätze werden von ZFC als unterschiedlich betrachtet, wenn einer ein Element enthält, das nicht im anderen enthalten ist. Dies ergibt sich aus dem Extensionalitätsaxiom von ZF.
Die obigen Antworten geben Ihnen den mathematischen Grund innerhalb von ZFC für die Eindeutigkeit und Existenz der leeren Menge .
Dazu können Sie aus intuitiver Sicht die Analogie mit einer Box verwenden .
Ein Set ist keine Schachtel, sondern der Inhalt der Schachtel.
Sie können also zwei verschiedene leere Boxen haben, deren Inhalt jedoch derselbe ist: der "leere Inhalt".
Frage 1. Ist es richtig, in formalisiertem ZFC zu sagen, dass es nur eine leere Menge gibt?
ZFC benötigt eine eindeutige leere Menge, dh für ZFC gibt es nur eine leere Menge. Dies liegt an dem Extensionalitätsaxiom von ZFC, das zwei Mengen immer dann identifiziert, wenn sie dieselben Elemente haben - formal:
∀ x ∀ y [∀ z [z ∈ x ↔ z ∈ y] → x = y]
und das Null-Mengen- Axiom, das die Existenz einer leeren Menge voraussetzt (d. h. einer Menge, die keine andere Menge enthält) - formal:
∃ x ∀ y [y ∉ x]
Verweise.
Wikipedia.Extensionalitätsaxiom
nLab.Axiom der Extensionalität
Frage 2. Ist es richtig zu sagen, dass es in der kategorialen Mengenlehre, sagen wir ETCS, viele leere Mengen gibt, aber alle isomorph sind?
ETCS erfordert mindestens eines und erlaubt mehrere Anfangsobjekte mit Alias- Leermengen . Dies liegt daran, dass ein Anfangsobjekt 0 (das man sich als eine leere Menge vorstellen kann) durch eine universelle Eigenschaft definiert ist , nämlich dass es für jedes Objekt x genau einen Morphismus von 0 bis x gibt - formal:
∀ x ∃! 0 → x
(der Pfeil ist hier ein Morphismus, keine Deduktion) und ist somit bis auf (eindeutigen) Isomorphismus definiert. Da aber die Ausgangsobjekte isomorph sind, spricht man vom Ausgangsobjekt .
Zwei anfängliche Objekte 0 und 0' müssen isomorph sein: da 0 initial ist, existiert es 0 → 0', und da 0' initial ist, existiert es 0' → 0. Dann muss die Zusammensetzung 0 → 0' → 0 die Identität auf 0 sein (da 0 initial ist, kann es per definitionem nur einen Morphismus 0 → 0 geben, aber das muss die Identität sein, die in jeder Kategorie für jedes Objekt gegeben ist). Analoge Argumentation zeigt, dass 0' → 0 → 0' die Identität auf 0' sein muss. Also sind 0 und 0' isomorph (was wir gerade gezeigt haben, ist die Definition von zwei Objekten, die isomorph sind: a und b sind isomorph, wenn es zwei Morphismen gibt: f: a → b und g: b → a und gf = id: a → a und fg = id: b → b.
Verweise.
Wikipedia.Anfangs- und Endobjekte
Beispiel (Wagensätze). Wenn Sie Autosets betrachten, dann ist jedes Auto, das keine anderen Autos enthält (also ausgenommen beladene Autotransporter oder Autos mit Matchbox-Autos darin), ein leeres Set. ZFC betrachtet alle diese Autos als identisch - es gibt also nur ein Auto, das keine anderen Autos enthält. ETCS erlaubt eine Unterscheidung, betrachtet sie aber als isomorph.
Frage *. Welche Ansicht ist genauer?
Meine persönliche Meinung. Nach Genauigkeit zu fragen, ist hier vielleicht nicht der richtige Ansatz. Man könnte stattdessen fragen, mit welchem Konzept gearbeitet werden soll. Dies hängt von Ihren Kriterien ab:
(1) Falls Sie an der Untersuchung von Brunnenordnungen und der kumulativen Hierarchie interessiert sind, möchten Sie vielleicht mit ZFC arbeiten.
(2) Falls Sie sich ansonsten für Mathematik interessieren und wie Mengen dort verwendet werden, sollten Sie sich eher mit Kategorientheorie und ETCS als mit ZFC befassen.
Verweise.
Hunan Rostomyan
Baby Drache
FWE
FWE
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Benutzer9166