Warum führt Nichtlinearität in der Quantenmechanik zu superluminaler Signalübertragung?

Das No-Cloning-Theorem verhindert superluminale Kommunikation durch Quantenverschränkung . Betrachten Sie das EPR-Gedankenexperiment und nehmen Sie an, dass Quantenzustände geklont werden könnten. Alice könnte auf folgende Weise Bits an Bob senden:

Wenn Alice senden möchte a$0$, misst sie den Spin ihres Elektrons im$z$Richtung (sie hätte eine andere Richtung wählen können, wenn sie a übertragen wollte$1$), wodurch Bobs Zustand zu einem von beiden zusammenbricht$|z+\rangle_B$oder$|z-\rangle_B$. Bob erstellt viele Kopien des Zustands seines Elektrons und misst den Spin jeder Kopie im$z$Richtung. Bob wird wissen, dass Alice a gesendet hat$0$ob alle seine Messungen das gleiche Ergebnis liefern; Andernfalls werden seine Messungen gleichmäßig aufgeteilt$+1/2$und$-1/2$. Dies würde es Alice und Bob ermöglichen, über raumähnliche Trennungen hinweg zu kommunizieren (wenn die beiden Komponenten des verschränkten Zustands raumähnlich getrennt sind), was möglicherweise die Kausalität verletzt.

Die Linearität der Quantenmechanik hindert uns jedoch daran, beliebige, unbekannte Zustände zu klonen ( PhotoQopiers existieren nicht ). Mal sehen. Nehmen wir den Zustand eines Quantensystems A an, das wir kopieren wollen. Der Zustand kann geschrieben werden als

$$|\psi\rangle_A = a |0\rangle_A + b |1\rangle_A$$

Die Koeffizienten „a“ und „b“ sind uns unbekannt. Um eine Kopie zu erstellen, nehmen wir ein System B mit identischem Hilbertraum und Anfangszustand$|e\rangle_B$(was unabhängig sein muss von$|\psi\rangle_A$, von denen wir keine Vorkenntnisse haben). Das Verbundsystem wird dann beschrieben durch

$$|\psi\rangle_A |e\rangle_B$$

Es gibt nur zwei Möglichkeiten, das zusammengesetzte System zu manipulieren. Wir könnten eine Beobachtung durchführen, die das System irreversibel in einen Eigenzustand des Beobachtbaren kollabieren lassen würde und die in A enthaltene Information verfälschen würde. Das ist offensichtlich nicht das, was wir wollen. Alternativ könnten wir den Hamiltonoperator des Systems und damit den Zeitentwicklungsoperator kontrollieren$U$, was ein linearer Operator ist. Dann$U$fungiert als photoQopier bereitgestellt

$$U |\psi\rangle_A |e\rangle_B= |\psi\rangle_A |\psi\rangle_B = (a |0\rangle_A + b |1\rangle_A)(a |0\rangle_B + b |1\rangle_B)= \\ a^2 |0\rangle_A |0\rangle_B + a b |0\rangle_A |1\rangle_B + b a |1\rangle_A |0\rangle_B + b^2 |1\rangle_A |1\rangle_B$$

für alle$\psi$. Das muss dann auch für die Basiszustände gelten, so

$$U |0\rangle_A |e\rangle_B = |0\rangle_A |0\rangle_B$$ $$U |1\rangle_A |e\rangle_B = |1\rangle_A |1\rangle_B$$

Dann ist die Linearität von$U$impliziert

$$U |\psi\rangle_A |e\rangle_B= U (a |0\rangle_A + b |1\rangle_A)|e\rangle_B= a |0\rangle_A |0\rangle_B + b |1\rangle_A |1\rangle_B \\ \ne a^2 |0\rangle_A |0\rangle_B + a b |0\rangle_A |1\rangle_B + b a |1\rangle_A |0\rangle_B + b^2 |1\rangle_A |1\rangle_B$$

Daher,$U |\psi\rangle_A |e\rangle_B$ist im Allgemeinen nicht gleich$|\psi\rangle_A |\psi\rangle_B$so dass$U$kann nicht als allgemeiner Fotokopierer fungieren.

Bearbeiten. Zum Zusammenhang zwischen No-Cloning und Heisenberg-Unschärferelation : In den 'quantiki; Link unten sagt:

Das No-Cloning-Theorem schützt die Unschärferelation in der Quantenmechanik. Wenn man einen „unbekannten“ Zustand klonen könnte, dann könnte man so viele Kopien davon machen, wie man möchte, und jede dynamische Variable mit beliebiger Genauigkeit messen, wodurch das Unschärfeprinzip umgangen wird. Dies wird durch das Non-Cloning-Theorem verhindert.

Dies scheint – zumindest oberflächlich – ein Trugschluss zu sein, denn, wie Bruce Connor betonte, unabhängig davon, ob man eine unendliche Anzahl exakter Kopien eines beliebigen, unbekannten Zustands hat, nicht kompatible Observable (nicht-kommutierende Operatoren) können nicht gemessen werden gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit. Also, wenn Alice die Spins misst$z$Komponente ihres Elektrons, und selbst wenn Bob viele Kopien seines Elektronzustands erstellen könnte (was durch das oben diskutierte Nicht-Klonen-Theorem verboten ist), könnte Bob den Wert von nicht bestimmen$x$Komponente mit beliebiger Genauigkeit – er würde eine Streuung in den Werten feststellen.

Einige andere Referenzen, die das Gegenteil von einem Kommentar von mir behaupten: @BruceConnor Ich stimme Ihnen da vollkommen zu. Ich weiß nicht, warum ich diesen Absatz aus dem Link kopiert habe. Es scheint ein erweiterter offensichtlicher Irrtum zu sein. Oder vielleicht irre ich mich, weil mein Wissen darüber nicht so tief ist und es scheint, dass diese Behauptung sogar in Büchern geschrieben steht ("No-Cloning Theorem impliziert grundsätzlich das Unschärfeprinzip und umgekehrt", Quantum Computing Since Democritus, S. Aaronson) und in einem PRL-Artikel ("the no-cloning theorem yields a new formuliert of thequantum uncertaintyprinciple that applys to individual systems [19]", DOI: 10.1103/PhysRevLett.88.210601 sehe keine klare Aussage zum Heisenberg-Prinzip). – Drake vor 18 Minuten

BEARBEITEN. Ein weiterer Kommentar:

Trimok: Die Quantenmechanik ist linear und respektiert No-Signaling. Es ist eine Kausaltheorie. Über nichtlineare Quantenmechanik zu sprechen, ist wie über nichtlineare „Lorentz“-Transformationen zu sprechen. –

Me: Das Problem ist, dass Linearität häufig eine Art Annäherung beinhaltet. Daher ist das Überschreiten der Linearität oder das Einführen von Nichtlinearitäten eine Möglichkeit, neue Theorien zu erforschen. Um Ihren Beispielen zu folgen: Die spezielle Relativitätstheorie führt eine Nichtlinearität in das Gesetz der Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in Bezug auf die Galileische Physik ein. Dies ermöglicht die Einführung einer neuen Geschwindigkeitsskala c und ihrer Invarianz unter Boost-Transformationen. Ebenso wird die Abhängigkeit der von einem Schwarzen Körper abgestrahlten Leistung von der Temperatur in der Quantenmechanik gegenüber der klassischen Physik nichtlinearisiert. Natürlich bleiben andere Gesetze in der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik (wie die Transformation von Koordinaten in der speziellen Relativitätstheorie) linear. Daher ist die Einführung von Nichtlinearitäten in die bekannten physikalischen Gesetze eine nicht triviale Aufgabe.

Fast kopiert von http://www.quantiki.org/wiki/The_no-cloning_theorem

Angenommen, Sie erhalten einen nichtlinearen Operator$N$. Dann gibt es mindestens zwei Zustände$\rho$und$\sigma$so dass$N(\alpha \rho + \beta \sigma) \neq \alpha N(\rho) + \beta N(\sigma)$. Hier$\alpha + \beta = 1$, und$\alpha, \beta \geq 0$. Wenn Sie also definitiv entweder a$\rho$oder ein$\sigma$mit Wahrscheinlichkeiten$\alpha$und$\beta$(z. B. resultierend aus einer Art Messung) und dann anwenden$N$, du erhältst$\alpha N(\rho) + \beta N(\sigma)$. Auf der anderen Seite, wenn Sie nicht wissen können, welcher Zustand Ihnen gegeben wurde (z. B. weil Sie nur einen Teil eines reinen Zustands haben), und sich dann bewerben$N$, du erhältst$N(\alpha \rho + \beta \sigma)$.

Beachten Sie, dass dies eine äußerst unerwünschte Eigenschaft ist. Es sollte keinen statistischen Unterschied geben, ob man einen Teil einer Reinigung eines gemischten Zustands erhält oder ob der gemischte Zustand durch Würfeln und zufälliges Austeilen von Zuständen konstruiert wird. Nichtlineare Operatoren scheinen jedoch die Eigenschaft zu haben, die beiden voneinander unterscheiden zu können.

So können Sie dies ausnutzen, um superluminal zu signalisieren. Lassen$|\psi\rangle$sei die Reinigung von$\rho$und$|\phi\rangle$die Reinigung von$\sigma$. Mit anderen Worten$Tr_A\left(|\psi\rangle\langle \psi|\right) = \rho$und$Tr_A\left(|\phi\rangle\langle \phi|\right) = \sigma$. Seit$\rho \neq \sigma$, das haben wir auch$|\psi\rangle \neq |\phi\rangle$. Nennen wir A Subsystem Alice und B Bob, wie üblich.

Nehmen wir also an, Alice schafft eine Überlagerung dieser beiden reinen Zustände und behält die Fähigkeit, sie im Auge zu behalten. Mit anderen Worten, sie hat$\sqrt{\alpha} |\psi\rangle \otimes |0\rangle + \sqrt{\beta} |\phi\rangle \otimes |1\rangle$. Sie schickt Bob das Teil ab$\psi$und$\phi$das reduziert sich auf$\rho$und$\sigma$. Angenommen, Alice und Bob haben viele solcher Kopien zur Verfügung, die auf die gleiche Weise hergestellt wurden.

Wenn nun Alice 0 senden will, tut sie nichts und Bob ist Teil des Staates$\alpha \rho + \beta \sigma$. Bob bewirbt sich jetzt$N$und hat$N(\alpha \rho + \beta \sigma)$. Wenn sie alternativ eine 1 senden möchte, misst sie ihre Ancilla. Danach hat Bob eine definitive$\rho$mit Wahrscheinlichkeit$\alpha$oder ein bestimmtes$\sigma$mit Wahrscheinlichkeit$\beta$. Bewirbt sich$N$ergibt sich nun ein statistisch gleichwertiger Zustand$\alpha N(\rho) + \beta N(\sigma)$. Da diese beiden Zustände unterschiedlich sind und Alice + Bob viele Kopien haben, kann Bob nun unterscheiden, welchen der beiden Zustände er hat, und hat daher eine Information superluminal erhalten. Beachten Sie, dass wenn$\rho$und$\sigma$eigentlich orthogonale reine Zustände sind, dann brauchen sie dazu nur eine einzige Kopie.

Mir ist kein Grund bekannt, warum Nichtlinearität superluminale Signale erfordert. Ich stimme den vorhandenen Antworten nicht zu. Sicherlich können klassische Feldtheorien nichtlinear sein, ohne superluminale Signale zu induzieren, zB die Allgemeine Relativitätstheorie. Ich sehe auch nichts in dem Quantisierungsverfahren einer klassischen Feldtheorie, das überluminale Signale hinzufügen würde.

Die bestehenden Argumente für die superluminale Signalgebung scheinen auf dem Konzept des Zusammenbruchs der Wellenfunktion zu beruhen – dies ist ein Konzept, das spezifisch für die Kopenhagener Interpretation (und Bohmian?) der Quantenmechanik ist und Sie in alle möglichen Paradoxien führen kann. In der Zwischenzeit brauchen Sie eigentlich keinen Wellenfunktionskollaps, um etwas zu berechnen, sondern interpretieren die Messung als die Verschränkung eines Teilchens mit einem Messgerät. (oder alternativ die Zusammenbrüche einfach bis zum Ende verzögern) Ich verwende diesen Ansatz hier implizit, indem ich keine Zustände zusammenbreche.

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Nichtlinearität und Klonen: Nichtlinearität erlaubt eine Verletzung des No-Cloning-Theorems, aber das No-Cloning-Theorem impliziert keine superluminale Signalisierung. Die Behauptung, dass "wenn Alice ihr Teilchen misst, dann misst Bob den gleichen Wert für alle Klone" widerspricht ausdrücklich der Definition von "echten" Klonen (die einen nichtlinearen Operator erfordern), die nicht miteinander verschränkt sind.

Wie analysieren wir also das Klonsignalisierungsexperiment?

Wir beginnen mit einem verschränkten Teilchenpaar. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werde ich alle Normalisierungs- oder Phasenfaktoren unterdrücken.

$$|\Psi\rangle_{AB} = |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B + |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B$$

Alice kann Partikel A messen oder nicht. Bob wird eine Kopie von Partikel B erstellen, die als Partikel C bezeichnet wird, und sie beide messen. Einzeln betrachtet (ohne Betrachtung von Korrelationen mit anderen Teilchen) befindet sich Teilchen B im Zustand$|\Psi\rangle_B = |0\rangle + |1\rangle$. Jetzt will Bob Partikel B klonen. Zuerst klont er es unvollkommen mit einem linearen Operator:

$$|\Psi'\rangle_{BC} = |0\rangle_B \otimes |0\rangle_C + |1\rangle_B \otimes |1\rangle_C$$

und der vollständige Zustand des Systems ist

$$|\Psi'\rangle_{ABC} = |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B \otimes |0\rangle_C + |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B \otimes |1\rangle_C$$

Wieder einzeln betrachtet befinden sich sowohl Teilchen B als auch C in den Zuständen$|\Psi'\rangle_B = |\Psi'\rangle_C = |0\rangle+|1\rangle$. Sie sind jedoch auch maximal verschränkt, sodass Bob feststellen wird, dass B = C ist, unabhängig davon, ob Alice Teilchen A misst oder nicht; es gibt keine superluminale Signalgebung, wie von der linearen Theorie erwartet.

Jetzt wiederholt Bob das Experiment, verwendet jedoch einen nichtlinearen Operator, um einen "echten" Klon von Partikel B zu erstellen:

$$|\Psi''\rangle_{BC} = (|0\rangle_B + |1\rangle_B) \otimes (|0\rangle_C + |1\rangle_C)$$ Aber was ist der vollständige Zustand einschließlich Alices Teilchen? Wenn Bob erhält $|\Psi''\rangle_{BC}$aber die Verstrickung in den Klonprozess hat es nicht zerstört, es muss sein

$$|\Psi''\rangle_{ABC} = |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B \otimes (|0\rangle_C + |1\rangle_C) + |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B \otimes (|0\rangle_C + |1\rangle_C) \\ + |1\rangle_A \otimes |0\rangle_C \otimes (|0\rangle_B + |1\rangle_B) + |0\rangle_A \otimes |1\rangle_C \otimes (|0\rangle_B + |1\rangle_B)\\$$

wobei die zweite Zeile dieser Gleichung auf die Symmetrieanforderungen an identische Partikel zurückzuführen ist. Dadurch wird die Verschränkung zwischen den Klonen "ausgebreitet" - nur eine Messung, B oder C, muss mit A übereinstimmen, nicht beide. Es besteht keine Korrelation zwischen B und C, unabhängig davon, ob Alice eine Messung durchführt. Bob kann also nichts über Alices Aktionen ableiten und es gibt keine superluminale Signalisierung , selbst bei einem perfekt geklonten Quantenzustand.

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Auf die andere Antwort möchte ich auch noch eingehen, aber meine Mittagspause war schon lange vorbei! Vielleicht in einer zukünftigen Bearbeitung.