Warum gilt für eine kreisförmige Bewegung in einer vertikalen Ebene die Nettokraft = Zentripetalkraft?

Die Frage, die Sie aufwerfen, ist eine sehr häufige und die Quelle einiger Schwierigkeiten für Anfänger. Ich weiß, dass es hier angesprochen wurde, aber ich kann keine gute Präsentation finden. Was folgt, ist nicht gut, aber es könnte ausreichen, um die Frage zu beantworten.

Die Zentripetalkraft beschreibt eine Kraft (oft das Netz mehrerer Kräfte). Es benennt keine Kraft. Die Schwerkraft ist eine Kraft. Reibung ist eine Kraft. Zentripetal ist keine Kraft. "Zentripetal" beschreibt eine Nettokraft, die zum Mittelpunkt eines Kreises zeigt. Ändert sich die Geschwindigkeit des Objekts nicht oder wird nur über einen sehr kurzen Zeitraum beobachtet, so verlangt dies die Kinematik$a_c=v^2/r$und Newtons zweites Gesetz besagt, dass es eine Nettokraft geben muss, die diese Beschleunigung erzeugt. Wir wissen, dass es eine Zentripetalkraft gibt, indem wir die Bewegung des Objekts beobachten, nicht indem wir die Wechselwirkungen zwischen Objekten untersuchen, wie wir es bei Schwerkraft oder Reibung tun würden. In gewissem Sinne ist "Zentripetalkraft" eher eine Aussage über Kinematik als über Dynamik.

Die Bewegung sagt uns, dass es eine Zentripetalkraft geben muss. Was die Natur dieser Kraft ist, stellt eine andere Frage dar, die durch die Analyse der tatsächlichen realen Kräfte beantwortet wird, die auf Wechselwirkungen zwischen Objekten zurückzuführen sind.

Die Kinematik sagt uns, dass Folgendes wahr sein muss:

$$F_\mathrm{net} = \frac{mv^2}{r}$$

Die Analyse der Kräfte am unteren Ende der Schleife sagt uns das

$$F_\mathrm{net}=N-mg$$

Bei Kreisbewegungen muss man verstehen, dass die Zentripetalbeschleunigung eine rein kinematische Tatsache ist.

• Etwas, das sich entlang einer gekrümmten Bahn bewegt, beschleunigt, weil sein Geschwindigkeitsvektor nicht konstant ist. Das ist nur Kinematik
• Wenn diese gekrümmte Bewegung eine bekannte, konstante Geschwindigkeit hat$v$und bekannten Krümmungsradius$r$als die Größe der Beschleunigung ist$a_c = v^2/r$. Das ist immer noch nur Kinematik

Es ist ungefähr so, als würde man auf etwas schauen, das sich nicht bewegt oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, und sagen: "Hey, das Ding ist im Gleichgewicht!". Wenn wir ein Objekt betrachten, das einer gekrümmten Bahn folgt, wissen wir, dass es beschleunigt wird, genauso wie wir wissen, dass eine gleichförmige Bewegung ein Gleichgewicht impliziert.

Und genau wie im Fall des Gleichgewichts verwenden wir dann Newtons drittes Gesetz, um die Nettokraft mit dieser Beschleunigung zu verbinden.

$$\begin{align*} F_\text{net,equilibrium} &= m a_\text{equilibrium}\\ &= 0\\ \\ F_\text{net,circular motion} &= m a_c \\ &= m\frac{v^2}{r} \;. \end{align*}$$

Mit anderen Worten, für Objekte in gleichmäßiger Kreisbewegung gilt immer , dass die darauf wirkende Nettokraft die "Zentripetalkraft" ist.

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Etwas zu beachten: Wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist, gibt es auch eine Beschleunigungskomponente tangential zur Bahn und die Nettokraft ist nicht mehr die Zentripetalkraft.

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Ich ermutige die Schüler, "die Zentripetalbeschleunigung" als eine primäre Sache zu betrachten und die Kräfte, die diese Beschleunigung verursachen, als eine Art Zwischenschritt in der Arbeit, die wir nicht mit einem Titel würdigen, um die Tatsache zu untermauern, welche zu finden Kräfte (oder Komponenten davon), die zusammen die Zentripetalbeschleunigung als ein auszuarbeitendes Merkmal des Problems verursachen.

z.B. Wenn wir versuchen, die Nettokraft zu finden, warum finden wir dann nicht die Nettobeschleunigung, die so etwas wie "Zentripetalbeschleunigung - Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft" wäre (am Ende der Schleife)?

Vergessen Sie die Idee, Beiträge zur Beschleunigung zu haben. Ein Objekt hat nur eine Beschleunigung, keine Summe aus mehreren.

• Es kann viele Kräfte geben, und sie alle verbinden sich zu einer Nettokraft. Das Objekt wird ein bisschen von dieser Seite, ein bisschen von dieser Seite, ein bisschen von hinten, ein bisschen von oben geschoben und alles in allem summiert sich all dies zu einer Nettokraft$F_{net}$.
• Aber Sie beschleunigen nicht ein bisschen seitwärts und ein bisschen zur anderen Seite und ein bisschen zurück, was sich dann zu einer Beschleunigung kombinieren sollte. Die Beschleunigung erfolgt nicht aus Beiträgen. Es können mehrere Kräfte auftreten, aber sie ergeben zusammen eine Beschleunigung - sie verursachen nicht jeweils eine Beschleunigung, die dann zu einer "Netto" -Beschleunigung summiert wird.

Newtons 2. Gesetz zeigt dies an: Die Formel ist es nicht$\sum F=m\sum a$aber nur$\sum F=ma$; Die$F$ist eine Summe von vielen$F$'s, aber die$a$ist keine Summe von vielen$a$'S.

Daher gibt es keine "Netto"-Beschleunigung - es ist nur Beschleunigung . Und im Falle einer gleichförmigen Kreisbewegung, wo diese Beschleunigung nach innen zeigen muss, hat man diese Beschleunigung genannt: Zentripetalbeschleunigung . Es ist keine andere "Art" der Beschleunigung - nur ein Name, den wir nennen, wenn es eine kreisförmige Bewegung verursacht.

Und damit eine solche nach innen gerichtete Beschleunigung vorhanden ist, müssen alle Kräfte, die auf das Objekt einwirken , zusammengenommen diese verursachen. Am unteren Ende der vertikalen Schleife zieht das Gewicht nach unten und die Normalkraft nach oben, und diese müssen zusammen eine Aufwärtsbeschleunigung verursachen. (Sie subtrahieren die "Beschleunigungsbeiträge" nicht voneinander, Sie kombinieren einfach die Kräfte und sehen, welche Beschleunigung diese Summe verursacht.)

Wenn es nicht nach oben ginge, wäre es keine gleichmäßige kreisförmige Bewegung.

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Warum$F_{Net}=ma=\frac{mv^2}r$

Die Leute haben sich ausgedacht, dass, wenn eine Bewegung gleichmäßig kreisförmig ist, die Beschleunigung immer gleich ist$a=\frac{v^2}{r}$und zur Mitte zeigend. Dies kann separat nachgewiesen werden und hat nichts mit Kräften zu tun.

Das Newtonsche Gesetz gilt immer,$F_{net}=ma$, und so im Falle einer gleichmäßigen kreisförmigen Bewegung, die$a$in diesem Gesetz kann durch ersetzt werden$a=\frac{v^2}{r}$.

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Wenn ich also die Nettokraft auf einer 60 kg schweren Person am Boden einer Achterbahn mit einem Radius von 9 m finden würde, die mit 18,8 fährt$m/s^2$, könnte ich gerade verwenden$F_{Net}=\frac{mv^2}r$? Das scheint mir, als hätten wir die Schwerkraft einfach ignoriert :/

Dies ignoriert nicht die Schwerkraft - Sie sind einfach noch nicht fertig. Die Schwerkraft wird sicherlich als Teil der Nettokraft eintreten$F_{Net}$. Wie Sie selbst richtig geschrieben haben, besteht die Nettokraft aus der Schwerkraft nach unten und der Normalkraft nach oben,$F_{Net}=F_n-mg$. Stecken Sie dies also in den Ausdruck und den Einfluss der Schwerkraft (das Gewicht$mg$) ist tatsächlich enthalten:

$$F_{Net}=\frac{mv^2}r\quad\Leftrightarrow\quad F_n-mg=\frac{mv^2}r$$