Warum haben Spin-1212\frac{1}{2}-Kerne ein elektrisches Quadrupolmoment von null?

Die Antwort lautet: Das Wigner-Eckart-Theorem .

In der einfachen alten Drehimpulskopplung (siehe Clebsch-Gordan-Koeffizienten ) lernen wir, dass, wenn ein System aus einem Spin-1/2-Subsystem und einem Spin-2-Subsystem besteht, das Gesamtsystem insgesamt Spin-5/2 oder Spin- sein kann 3/2, kein anderer Wert. Die Regeln sind

1. $|j_1-j_2| \leq j_\mathrm{total} \leq j_1+j_2$
2. $j_1+j_2+j_\mathrm{total}$ist eine ganze Zahl.

Nun, das Wigner-Eckart-Theorem lehrt uns, dass ähnliche Regeln für Operatoren gelten. Der elektrische Quadrupol-Operator$Q$kann als sphärischer Tensoroperator Rang 2 ausgedrückt werden. Wenn es auf ein Spin-1/2-System wirkt, kann der resultierende Spin nur sein$\frac{5}{2}$oder$\frac{3}{2}$. Also, wenn Sie rechnen$\langle\frac{1}{2}| Q|\frac{1}{2}\rangle$, Sie können es gerne gruppieren$\langle \frac{1}{2}| \;\;\; Q |\frac{1}{2}\rangle$. Mit anderen Worten, dies ist das innere Produkt einer Spin-$\frac{1}{2}$System mit$Q|\frac{1}{2}\rangle$(Das ist Spin$\frac{3}{2}$oder$\frac{5}{2}$). Sie sind also orthogonal; das Skalarprodukt ist Null.$\langle\frac{1}{2}| Q |\frac{1}{2}\rangle=0$.

Nach ähnlicher Logik erfordern Dipolmomente (elektrisch oder magnetisch) einen Spin ≥ 1/2, Quadrupolmomente erfordern einen Spin ≥ 1, Oktupolmomente erfordern einen Spin ≥ 3/2 usw. (Dipoloperatoren haben Rang 1, Quadrupole haben Rang 2, Oktupole sind Rang 3 usw.)

Ich möchte die obige formale Antwort von Steve Byrnes um eine einfache Beobachtung ergänzen, die in der Praxis deutlich macht, dass ein Spin 1/2 sinnvollerweise kein Quadrupolmoment haben kann.

Um dies zu sehen, beachten Sie, dass die Quadrupol-Wechselwirkung durch einen Term der Form in den Hamilton-Operator eintritt

$V = \vec{I}\cdot \mathbb{Q} \cdot \vec{I}$,

wo$\vec{I}$ist der Kernspinvektor und wo$\mathbb{Q}$ist der Quadrupol-Tensor. Der Quadrupol-Tensor ist symmetrisch, also gibt es immer eine Basis, in der er diagonal ist. Konzentrieren wir uns ohne Verlust der Allgemeinheit einfach auf die Interaktionen der Form

$V = \mathbb{Q}_{xx} I_x^2 + \mathbb{Q}_{yy} I_y^2 + \mathbb{Q}_{zz} I_z^2$,

wo$\mathbb{Q}_{jj}$ist der$j$te Diagonalkomponente des Quadrupol-Tensors. Für einen Spin 1/2 sind die Spinoperatoren die Hälfte der Pauli-Operatoren,$I_j = \sigma_i/2$. Infolgedessen stehen sie immer im Quadrat$1/4$. So

$V = \frac{1}{4}\left(\mathbb{Q}_{xx} + \mathbb{Q}_{yy} + \mathbb{Q}_{zz}\right) = \frac{1}{4}\textrm{Tr}\left(\mathbb{Q}\right)$.

Aber weil der Quadrupoltensor immer spurlos ist, bedeutet dies das$V = 0$identisch. Selbst wenn wir also für den Spin 1/2 ein Quadrupolmoment postulierten, könnte er nicht in den Hamiltonoperator eintreten. Die Algebra der Spin-1/2-Operatoren lässt nur eine Quadrupol-Wechselwirkung von Null zu.