Warum Hin- und Rückfahrt statt Kollisionszeit?

Die Annahmen, die hier getroffen werden, sind vollkommen elastische Kollisionen mit den Wänden, bei denen das Atom mit der gleichen Geschwindigkeit zurückprallt, mit der es gekommen ist. Es versucht, die durchschnittliche Kraft basierend auf der Anzahl der Wechselwirkungen pro Zeiteinheit mit der Wand zu berechnen, und hängt daher grundlegend davon ab, wie lange es für aufeinanderfolgende Kollisionen zwischen den Wänden dauert. Wie es oben heißt,$F = \Delta p/\Delta t$, und das einzige Mal, dass$\Delta p$Änderungen für ein Atom, das mit der Wand wechselwirkt, ist während einer Kollision mit der Wand. Die Berechnung der durchschnittlichen Kraft unter Verwendung der Zeit zwischen Kollisionen ermöglicht es uns, die tatsächliche Interaktionszeit einer einzelnen Kollision zu ignorieren . Die Annahme hier ist, dass zu jeder Zeit viele Partikel mit den Wänden interagieren, so dass die durchschnittliche Kraft auf die Wände relativ konstant bleibt. Wenn es gibt$N$Kollisionen in der Zeit$\Delta t$, die gesamte Impulsänderung ist$2Nm\bar{v}_x$, für$N$Teilchen mit einer mittleren Geschwindigkeit senkrecht zur Wand$\bar{v}_x$. Wenn$\Delta t = 2L/\bar{v}_X$, die durchschnittliche Umlaufzeit, dann ergibt dies eine durchschnittliche Kraft für$N$Moleküle von:

Der Punkt bei all dem ist, dass es einen statistischen Durchschnitt vieler Kollisionen über einen langen Zeitraum nimmt, selbst wenn es um den Fall eines einzelnen Teilchens geht. Da wir für ein ideales Gas wissen, dass es einen perfekten Rückstoß geben wird, wissen wir genau, was$\Delta p$sollte für jede Kollision gelten, auch wenn wir nicht wissen, wie lange jede Kollision einzeln dauern wird. Aber wir können die Anzahl der Kollisionen in einer Zeit berechnen$\Delta t$um die durchschnittliche Kraft über den gesamten Zeitraum zu berechnen, was sie im obigen Beispiel getan haben.

Beachten Sie auch, dass es besagt, dass das Gas ein ideales Gas ist, was bedeutet, dass die Beziehung$PV = nRT$kann aufgerufen werden. Der Druck,$P$, ist die Kraft pro Flächeneinheit auf die Wände, und$V$ist das Volumen des Behälters. Da die Temperatur nur mit der Energieausbreitung des Gases zusammenhängt, können wir folgendes bestimmen: Wenn die Wände unendlich weit voneinander entfernt sind, dann ist das Volumen,$V$ist unendlich, also$P = nRT/V \rightarrow 0$, und somit ist die Kraft pro Flächeneinheit Null. Dies steht im Einklang mit der Tatsache, dass für Wände mit unendlichen Abständen$\Delta t$zwischen Kollisionen$\rightarrow \infty$.

Hier ist eine andere Ableitung der gleichen Formel:

Das dritte Newtonsche Gesetz sagt uns, dass das Molekül eine Kraft auf die Wand ausübt. Je mehr Moleküle auf eine Wand treffen, desto größer ist die Kraft auf die Wand. In einem Behälter mit Wänden unterschiedlicher Größe erhalten die größeren Wände mehr Schläge als die kleineren Wände und erfahren daher eine größere Kraft. Der Druck im Behälter ist die Größe der Normalkraft F auf eine Wand dividiert durch die Fläche A der Wand.

P = F/A

Je schneller sich die Moleküle im Behälter bewegen, desto größer ist die Impulsänderung, wenn sie von einer Wand abprallen, und desto öfter treffen sie auf die Wände. Angenommen, ein Molekül bewegt sich horizontal mit der Geschwindigkeit |v_x| hin und her zwischen zwei unendlich massiven Wänden, die einen Abstand L voneinander entfernt sind. Beim Auftreffen auf die rechte Wand ändert sich sein Impuls von p1 = +m|v_x| zu p2 = -m|v_x|. Die Impulsänderung des Moleküls ist Δp_mol = p2 - p1 = -2m|v_x|. Das Zeitintervall zwischen aufeinanderfolgenden Treffern an der rechten Wand ist Δt = 2L/|v_x|. Die durchschnittliche Kraft, die die Wand auf dieses Molekül ausübt, ist also F_mol = Δp_mol/Δt = -2m|v_x|/(2L/|v_x|) = -mv_x^2/L. Nach Newtons drittem Gesetz ist die durchschnittliche Kraft, die das Molekül auf die Wand ausübt, F_wall = mv_x^2/L, sie ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Moleküls oder seiner kinetischen Energie.

Nehmen Sie an, dass sich im Volumen V N Moleküle befinden, die sich horizontal mit der Geschwindigkeit |v_x| bewegen. Nicht alle Moleküle haben die gleiche kinetische Energie. Die von den Molekülen auf die Wände eines Behälters ausgeübte Kraft ist daher F = Nm/L, wobei der Mittelwert von vx2 ist.

Es betrachtet es in Bezug auf die Kraft, die die Wand auf das Molekül ausübt, und beruft sich auf das dritte Gesetz. Es betrachtet die Wand als den „Akteur“ und das Molekül, auf das „gewirkt“ wird. Das Intervall, das die Wand im bereisten Raum "sieht", ist doppelt so lang, weil ein Auftreffen auf dieselbe Wand durch dasselbe Molekül kein Intervall darstellt, das Molekül muss zurückkommen. Dann kann die Wand aus der Geschwindigkeit eine Zeit abschätzen.

Kommt mir auch gekünstelt vor, aber zumindest konsequent.

Um Ihre Frage kurz zu beantworten, ja, die Ableitung stellt fest, dass die durchschnittliche Kraft eines einzelnen Gasmoleküls in einem riesigen Behälter Null ist, weil es kaum jemals gegen die Wand stößt.

Aber als nächstes multiplizieren sie mit der Anzahl der Moleküle. Wenn Sie eine bekannte Dichte haben$N/L$, die Anzahl der Moleküle$N$ist ebenso unendlich wie die Länge$L$. Die beiden Unendlichkeiten heben sich also auf (Regel von L'Hôpital) und Sie haben eine endliche Durchschnittskraft.

Rezension:

Angenommen, wir haben eine Ansammlung von Gasmolekülen in einem Behälter mit dem Volumen V bei der absoluten Temperatur T.

Dann bewegt sich jedes Molekül mit konstanter Geschwindigkeit in einer geraden Linie weiter, bis es auf ein anderes Molekül oder eine Behälterwand trifft. Eine Kollision zwischen zwei Molekülen ist ähnlich wie eine Kollision zwischen zwei Kugeln. Die Moleküle tauschen Impuls aus, aber der Gesamtimpuls der beiden Moleküle bleibt erhalten. Wenn ein Molekül auf eine Wand trifft, prallt es zurück. Seine Dynamik ändert sich. Um den Impuls des Moleküls zu ändern, muss die Wand eine Kraft auf das Molekül ausüben. Das dritte Newtonsche Gesetz sagt uns, dass das Molekül eine Kraft auf die Wand ausübt. Je mehr Moleküle auf eine Wand treffen, desto größer ist die Kraft auf die Wand. In einem Behälter mit Wänden unterschiedlicher Größe erhalten die größeren Wände mehr Schläge als die kleineren Wände und erfahren daher eine größere Kraft.

P = F/A

Je schneller sich die Moleküle im Behälter bewegen, desto größer ist die Impulsänderung, wenn sie von einer Wand abprallen, und desto öfter treffen sie auf die Wände. Angenommen, ein Molekül bewegt sich horizontal mit der Geschwindigkeit |vx| hin und her zwischen zwei unendlich massiven Wänden, die einen Abstand L voneinander entfernt sind. Beim Auftreffen auf die rechte Wand ändert sich sein Impuls von p1 = +m|vx| zu p2 = -m|vx|. Die Impulsänderung des Moleküls ist Δpmol = p2 - p1 = -2m|vx|. Das Zeitintervall zwischen aufeinanderfolgenden Treffern an der rechten Wand ist Δt = 2L/|vx|. Die durchschnittliche Kraft, die die Wand auf dieses Molekül ausübt, ist also Fmol = Δpmol/Δt = -2m|vx|/(2L/|vx|) = -mvx2/L. Nach Newtons drittem Gesetz ist die durchschnittliche Kraft, die das Molekül auf die Wand ausübt, Fwall = mvx2/L, sie ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Moleküls oder seiner kinetischen Energie.

Nehmen Sie an, dass sich im Volumen V N Moleküle befinden, die sich horizontal mit der Geschwindigkeit |vx| bewegen. Nicht alle Moleküle haben die gleiche kinetische Energie. Die von den Molekülen auf die Wände eines Behälters ausgeübte Kraft ist daher F = Nm/L, wobei der Mittelwert von vx2 ist.

Der Druck ist P = F/A = Nm/V, da L*A = V. Mit ρTeilchen = N/V haben wir

P = F/A = ρTeilchenmvx2.

An der x-Richtung ist nichts Besonderes. Die Atome können sich auf und ab, hin und her, rein und raus bewegen. Die durchschnittlichen Geschwindigkeitskomponenten in allen Richtungen werden alle gleich sein.

= = .

Sie sind jeweils gleich einem Drittel ihrer Summe, die das Quadrat der Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit ist.

= + + .

= (1/3).

Wir dürfen also schreiben

P = (1/3)ρTeilchenm = (2/3)ρTeilchen(m/2)

m/2 ist die kinetische Energie der Schwerpunkt- oder Translationsbewegung eines Atoms oder Moleküls. Mit ρparticle = N/V haben wir

PV = (2/3)N(m/2)

Diese Gleichung bezieht den Druck auf die kinetische Energie der Atome oder Moleküle. Das ideale Gasgesetz besagt PV = NkBT. Vergleichen wir die beiden Ausdrücke, die wir finden

.

Die Temperatur ist ein direktes Maß für die durchschnittliche molekulare kinetische Translationsenergie.

.

Die quadratische Mittelgeschwindigkeit der Atome oder Moleküle ist

.

Links: Bitte erkunden Sie diese interaktiven Animationen. Patrone

Partikelgeschwindigkeiten und Temperaturen bullet

Willkommen in der Druckkammer

Problem:

Ein Zylinder enthält eine Mischung aus Helium- und Argongas im Gleichgewicht bei 150 oC. (a) Wie groß ist die durchschnittliche kinetische Energie jedes Gasmoleküls? (b) Wie groß ist die quadratische Mittelgeschwindigkeit jedes Molekültyps? bullet Lösung: bullet (a) Die durchschnittliche kinetische Energie jedes Moleküls ist (3/2)kBT = (3/2)1,38*10-23 J/K(423 K) = 8,76*10-21 J. Die durchschnittliche kinetische Energie Die Energie ist für beide Atomarten gleich, Kugel (b) vrms2 = 2*8,76*10-21 J/m. mHe = 4 u, mAr = 39,9 u. 1 u = 1 atomare Masseneinheit = 1,66*10-27 kg. vrms(He) = 1,62*103 m/s. veff(Ar) = 514 m/s. Die massereicheren Moleküle haben eine geringere Durchschnittsgeschwindigkeit.

Problem:

Ein 5-Liter-Gefäß enthält 0,125 Mol eines idealen Gases bei einem Druck von 1,5 atm. Wie groß ist die durchschnittliche kinetische Translationsenergie eines einzelnen Moleküls? bullet Lösung: PV = nRT ergibt T. T = PV/(nR) T = (1,5*1,01*105 Pa)(5000 cm3*1 m3/106 cm3)/(0,125*8,31 J/K) T = 729 K.

Die durchschnittliche kinetische Translationsenergie eines einzelnen Moleküls beträgt 1,51*10-20 J.

Wärmefluss Wenn Sie zwei Objekte unterschiedlicher Temperatur zusammenbringen, wird immer Energie vom heißeren zum kälteren Objekt übertragen. Die Objekte werden Wärmeenergie austauschen, bis ein thermisches Gleichgewicht erreicht ist, dh bis ihre Temperaturen gleich sind. Wir sagen, dass Wärme vom heißeren zum kühleren Objekt fließt. Wärme ist Energie in Bewegung. Wärmeeinheiten sind Energieeinheiten. Die SI-Einheit der Energie ist Joule. Andere oft anzutreffende Energieeinheiten sind 1 Cal = 1 kcal = 4186 J, 1 cal = 4,186 J, 1 Btu = 1054 J.

Ohne dass ein externer Agent Arbeit verrichtet, fließt Wärme immer von einem heißeren zu einem kühleren Objekt. Es interagieren immer zwei Objekte unterschiedlicher Temperatur. Es gibt drei verschiedene Wege, wie Wärme von einem Objekt zum anderen fließt. Sie sind Leitung, Konvektion und Strahlung.

Leitung

Die Atome in einem Festkörper schwingen um ihre Gleichgewichtspositionen. Wenn sie vibrieren, stoßen sie mit ihren Nachbarn zusammen. Bei diesen Kollisionen tauschen sie Energie mit ihren Nachbarn aus. Wenn die verschiedenen Bereiche eines Festkörpers oder mehrerer miteinander in Kontakt gebrachter Festkörper die gleiche Temperatur haben, dann gewinnen alle Atome bei den Stößen ebenso Energie wie sie Energie verlieren. Ihre durchschnittliche zufällige kinetische Energie ändert sich nicht. Wenn jedoch eine Region eine höhere Temperatur hat als eine andere Region, dann verlieren die Atome in der Hochtemperaturregion im Durchschnitt Energie bei den Stößen, und die Atome in der Niedrigtemperaturregion werden im Durchschnitt Energie gewinnen. Auf diese Weise fließt Wärme durch Leitung durch einen Festkörper.

Die Steifigkeit der Federn (Stärke der chemischen Bindungen) bestimmt, wie leicht die Atome Energie austauschen können und bestimmt somit, ob das Material ein guter oder schlechter Wärmeleiter ist. Jedes Atom hat einen Kern, der von Elektronen umgeben ist. In einem festen Metall sind alle Kerne an ihre Gleichgewichtslagen gebunden. Aber einige Elektronen können sich frei durch den Festkörper bewegen. Sie können bei Kollisionen mit heißen Kernen leicht kinetische Energie aufnehmen und bei Kollision mit kühleren Kernen wieder abgeben. Da ihr mittlerer freier Weg zwischen Kollisionen größer ist als der Abstand zwischen benachbarten Atomen, kann sich Wärmeenergie schnell durch das Material bewegen. Metalle sind im Allgemeinen viel bessere Wärmeleiter als Isolatoren.

Konvektion

Konvektion überträgt Wärme durch die Bewegung einer Flüssigkeit, die thermische Energie enthält. In einer Umgebung, in der auf jedes Objekt der Masse m eine konstante Gravitationskraft F = mg wirkt, entwickelt sich die Konvektion auf natürliche Weise aufgrund von Änderungen der Flüssigkeitsdichte mit der Temperatur. Wenn eine Flüssigkeit wie Luft oder Wasser mit einem heißeren Objekt in Kontakt kommt, nimmt sie Wärmeenergie durch Leitung auf. Seine Dichte nimmt ab. Für ein gegebenes Flüssigkeitsvolumen ist die nach oben gerichtete Auftriebskraft gleich dem Gewicht dieses Volumens an kühler Flüssigkeit. Die nach unten gerichtete Kraft ist das Gewicht dieses Volumens heißer Flüssigkeit. Die Aufwärtskraft ist größer als die Abwärtskraft und das Volumen des heißen Fluids steigt. Wenn eine Flüssigkeit mit einem kälteren Objekt in Kontakt kommt, kühlt sie sich ab und sinkt ab. Wenn sich ein Flüssigkeitsvolumen wie Luft oder Wasser in Bewegung setzt, die umgebende Flüssigkeit muss nachströmen, um den Hohlraum zu füllen. Andernfalls würden große Druckunterschiede entstehen. Dadurch entsteht ein Konvektionsstrom und der folgende Schleifenpfad ist eine Konvektionszelle. Da sich Flüssigkeit nicht irgendwo im Weltraum ansammeln kann, ohne einen Hochdruckbereich zu erzeugen, fließt sie in einem geschlossenen Kreislauf. Die Konvektion kann erhöht werden, wenn die Flüssigkeit gezwungen wird zu zirkulieren. Ein Ventilator z. B. zwingt die Luft zum Zirkulieren.

Video: Konvektionsstrom

Strahlung

Kerne und Elektronen sind geladene Teilchen. Wenn geladene Teilchen beschleunigen, senden sie elektromagnetische Strahlung aus und verlieren Energie. Vibrierende Teilchen werden immer beschleunigt, da sich ihre Geschwindigkeit ständig ändert. Sie geben daher immer elektromagnetische Strahlung ab. Auch geladene Teilchen absorbieren elektromagnetische Strahlung. Wenn sie die Strahlung absorbieren, beschleunigen sie sich. Ihre zufällige kinetische Energie nimmt zu. Im thermischen Gleichgewicht ist die Menge an Energie, die sie an Strahlung verlieren, gleich der Menge an Energie, die sie durch Strahlung gewinnen. Aber heißere Objekte geben mehr Strahlung ab, als sie von ihrer kühleren Umgebung absorbieren. Strahlung kann also Wärme von einem heißeren zu einem kühleren Objekt transportieren.

Unter elektromagnetischer Strahlung versteht man elektromagnetische Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit durch den Weltraum ausbreiten. Wir klassifizieren elektromagnetische Wellen nach ihrer Wellenlänge. Eine grafische Darstellung des elektromagnetischen Spektrums ist in der Abbildung rechts dargestellt.

Der sichtbare Teil des Spektrums kann nach Farbe weiter unterteilt werden, wobei Rot am langwelligen Ende und Violett am kurzwelligen Ende liegt, wie in der nächsten Abbildung dargestellt.

Heiße Objekte senden Strahlung mit einer Wellenlängenverteilung aus. Aber die durchschnittliche Wellenlänge der Strahlung nimmt ab, wenn die Temperatur des Objekts zunimmt. Die meiste Wärmestrahlung liegt im infraroten Bereich des Spektrums. Wir können diese Strahlung nicht sehen, aber wir können fühlen, wie sie unsere Haut erwärmt. Verschiedene Objekte emittieren und absorbieren Infrarotstrahlung mit unterschiedlichen Raten. Dunkle Oberflächen sind im Allgemeinen gute Strahler.

Beispiele für alle Wärmeübertragungsverfahren:

Wenn ein Holzofen verwendet wird, um die Luft in einem Raum zu erwärmen, spielen Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung eine Rolle.

Bei der Verbrennung des Holzes wird im Holz gespeicherte chemische Energie in thermische Energie der Reaktionsprodukte umgewandelt. Durch Wärmeleitung erwärmen diese Reaktionsprodukte die Oberflächen und die Luft, mit der sie in Kontakt kommen. Die Konvektion zieht den heißen Rauch durch ein langes schwarzes Rohr aus dem Raum und zieht frische Luft in den Ofen. Wenn der Rauch mit der Innenfläche des Rohres in Kontakt kommt, erwärmt er das Rohr durch Wärmeleitung. Die Wärmeleitung trägt auch die Wärmeenergie von den Innenflächen des Ofens und des Rohrs zu den Außenflächen und erwärmt die Luft in der Nähe der Oberflächen. Die heiße Luft beginnt dann durch Konvektion aufzusteigen. Kühlere Luft strömt ein, um die aufsteigende Luft zu ersetzen, und ein Konvektionsstrom beginnt in einer Konvektionszelle zu fließen.

Dadurch verteilt sich die warme Luft im ganzen Raum. Die heiße, schwarze Außenfläche des Ofens ist auch ein guter Strahler für infrarote Wärmestrahlung. Diese Wärmestrahlung wird von den Oberflächen verschiedener Gegenstände im Raum absorbiert.

Bitte erledigen Sie Aufgabe 4 jetzt.