Warum ist das Auge eines Zyklons ein erzwungener Wirbel?

Empirische Evidenz:

Um unsere Ideen zu fixieren, gehe ich zunächst davon aus, dass Sie von einem tangentialen Windprofil sprechen, das ungefähr so ​​​​aussieht:

$\phantom{texttexttexttexttexttexttexttexttextte}$

Das Diagramm zeigt das (azimutal gemittelte, dh über Kreise gemittelte) tangentiale Windprofil als Funktion des Radius in einer festen Höhe. Beim Betrachten dieses Bildes erinnert man sich natürlich an einen Rakine-Wirbel , der aus einem erzwungenen Wirbelkern besteht, der von einem freien Wirbel umgeben ist. Du sagtest:

[...] ein erzwungener Wirbel hat ein Geschwindigkeitsprofil u∝r (r ist der radiale Abstand vom Zentrum des Wirbels), das an einer äußeren Grenze r=R endet, um zu vermeiden, dass sich Fluidpartikel mit unendlicher Geschwindigkeit bewegen. An dieser äußeren Grenze muss ständig ein externes Drehmoment zugeführt werden, um in Gang zu bleiben.

Das Missverständnis hier ist, dass es in einem tropischen Wirbelsturm keine feste (noch eine effektiv feste) Grenze an dem Punkt gibt, an dem der „erzwungene“ Wirbel in den „freien“ Teil übergeht. Es gibt keine Wand, die der Flüssigkeit durch Wandreibung einen Impuls verleiht wie im Zylinder.

Warum dreht sich die Luft in einem Zyklon?

Weil es ein Niederdrucksystem ist. In guter Näherung (unter der Annahme, dass wir die Reibung vernachlässigen können) besteht ein Kräftegleichgewicht zwischen der Druckgradientenkraft, der Corioliskraft und der Zentrifugalkraft:

wo ich mit bezeichne$v$die Tangentialgeschwindigkeit und$f$ist der Coriolis-Parameter. Es könnte für Sie interessant sein, dass sich die ungefähre Bilanz (1) aus einer Skalenanalyse der radialen Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten ergibt. Die Waage (1) wird oft als "Gradientenwindwaage" bezeichnet. Aus (1) ist klar, dass in einem Niederdrucksystem ($\frac{\partial p}{\partial r}<0$), wird es eine Zyklonbewegung geben ($v>0$), um das Gleichgewicht aufrechtzuerhalten, daher der Name „Zyklon“ für Niederdrucksysteme.

Also sollte (oder kann) der tropische Wirbelsturm nicht mit Wasser in einem rotierenden zylindrischen Tank verglichen werden, der durch ein externes Drehmoment auf den Zylinder in Festkörperrotation gehalten wird. Vielmehr dreht sich die Luft aufgrund des Druckdefizits zwischen Umgebung und Zyklonauge. Daher ist die Frage, was das Drehmoment an der "äußeren Grenze" liefert, um die Rotation des Festkörpers aufrechtzuerhalten, irreführend, da in einem Zyklon keine solche Grenze existiert.

Warum das Windprofil eines tropischen Wirbelsturms komplizierter ist als ein Rankine-Wirbel:

Das Rankine-Wirbelmodell (genau wie freie und erzwungene Wirbelmodelle einzeln) beschreibt einen achsensymmetrischen Wirbel in einer zweidimensionalen Flüssigkeit (alle Bewegungen finden in der horizontalen Ebene statt und die Bewegung ist unabhängig von z). Ein echter tropischer Wirbelsturm ist weder exakt symmetrisch noch, was noch wichtiger ist, er ist eine sehr dreidimensionale Strömungsstruktur. Bevor ich fortfahre, lassen Sie mich nur ein paar Worte darüber sagen, wie diese Struktur aussieht:

$\phantom{texttettexttextte}$

Durch den Unterdruck im Zentrum des Zyklons wird die Luft gemäß (1) in kreisende Bewegung versetzt. Es gibt jedoch eine Schicht nahe der Oberfläche, die als „planetare Grenzschicht“ bezeichnet wird, wo das Gleichgewicht (1) durch Reibungseffekte gestört wird. Hier verläuft die Strömung nicht mehr entlang eines konstanten Radius, sondern hat eine Komponente, die von hohem zu niedrigem Druck zeigt (dh eine radiale Komponente). Die Luftmassen laufen im Zentrum des Zyklons zusammen und werden daher (durch Massenerhaltung) gezwungen, sich in der sogenannten Augenwand nach oben zu bewegen. Beim Aufsteigen der Luft kondensiert Wasserdampf, der latente Wärme freisetzt und den Luftpaketen weiteren Auftrieb verleiht, damit sie bis zur Tropopause weiter aufsteigen können. Dies veranschaulicht die Tatsache, dass die Dreidimensionalität zusammen mit thermodynamischen Effekten den Zyklon zu einem komplizierteren Problem macht als die theoretischen erzwungenen oder freien Wirbel.

Eine erste (versuchte) Erklärung:

Trotzdem können wir erklären, warum das Geschwindigkeitsprofil so aussieht. Zunächst erinnern wir uns daran, dass (sogar ungefähr) Erhaltungsgrößen nützlich sind, wenn man versucht, physikalische Probleme zu verstehen, also lassen Sie uns sehen, ob wir hier eine finden können. Die azimutale Komponente der NS-Gleichungen in zylindrischen Polaren lautet:

Warum ist die vertikale Komponente der Wirbel innerhalb des Zyklonauges homogen?

Unter der Annahme einer Achsensymmetrie entspricht diese Frage Ihrer ursprünglichen Frage, weil$v=\omega r \Rightarrow \zeta = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv)}{\partial r} =2\omega = \textrm{const.}$für$\omega=\textrm{const.}$Ich werde zwei Erklärungen anbieten: Die erste ist eher handgewellt (und möglicherweise nicht ganz korrekt), die andere mathematischer, aber vielleicht weniger transparent für Sie, es sei denn, Sie haben Zeit, die Mathematik durchzugehen.

1. Da die Geschwindigkeit zwischen dem Radius des maximalen Windes und auf Null gehen muss$r=0$, gibt es eine signifikante Scherung (was einen großen Geschwindigkeitsgradienten bedeutet). Eine solche Scherströmung im Auge kann Turbulenzen gemäß der Gleichung für kinetische Energie der Turbulenz anheizen , siehe den Begriff "Schererzeugung". Die turbulente Diffusion wiederum ist ein Mechanismus, durch den Wirbel im Auge homogenisiert werden könnten.

Dieses Argument ist schwammig, denn obwohl der Scherproduktionsterm in der TKE-Gleichung in der Atmosphäre (empirisch) fast immer positiv ist, ist es unmöglich zu sagen, ob dies hier der Fall sein wird, da wir das Vorzeichen des Wirbels nicht kennen Korrelationsterm. Außerdem gibt es viele andere Terme in der TKE-Gleichung, die möglicherweise die Auswirkungen der Schererzeugung aufheben könnten.

2. Formaler können wir Folgendes tun: Neben der Gradientenwindwaage (1), die in der Horizontalen gilt, gibt es (wiederum in guter Näherung) eine hydrostatische Waage in der Vertikalen zwischen der Schwerkraft und dem vertikalen Druckgradienten: $$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g=0 \tag 4$$ .

Basierend auf diesen beiden Bilanzen, einer Form des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik und zwei Erhaltungssätzen, leitete Emanuel (1986) (es ist ein sehr berühmter Aufsatz in Meteorologie) (auf Seite 3 und oben auf S. 4) eine Gleichung ab, die M und the in Beziehung setzt Verteilung der spezifischen Entropie$s$im Zyklon seine Gleichung (13). Als ich mein Projekt bei Imperial durchführte, fand ich heraus, dass die spezifische Entropie bei fester Höhe sehr genau einer Gaußschen Verteilung folgt:

(Nebenbei: Tatsächlich muss die Entropie monoton mit dem Radius abnehmen, sonst impliziert (13) aus Emanuels Arbeit, dass der Wirbel " trägheitsinstabil " ist).

Wenn Sie diese Gaußsche Verteilung verwenden, um (13) aus Emanuels Arbeit zu lösen, können Sie Formeln für das Windprofil, den Drehimpuls und die Druckverteilung ableiten (vgl. die folgende Arbeit , die ich mitverfasst habe :)). Wenn Sie möchten, können Sie die Mathematik überprüfen, es ist einfache Algebra. Insbesondere die Geschwindigkeitsverteilung bei fester Höhe, die man erhält, ist:

Wo$\Delta p$ist das Druckdefizit zwischen Umgebung und Wirbelsturmzentrum und$\alpha$spezifisches Volumen ist. In der Arbeit zeigen wir, dass dieses Profil tatsächlich gut zu Windprofilen passt, die durch Lösen der dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen mit einem Supercomputer simuliert werden.

Taylor expandieren (6) für kleine Radien und diese verwenden$f$Begriff viel kleiner als$\frac{\sqrt{\Delta p \alpha}}{\lambda}$für typische Parameterwerte gibt

Hoffe, das hilft, wenn Sie weitere Fragen haben, lassen Sie es mich wissen und ich werde versuchen, meine Antwort zu verbessern.

Wenn noch jemand eine Idee zur konstanten Vorticity im Zyklonauge hat, wäre ich sehr interessiert.

EDIT 1: Rossby-Wellen außerhalb der Augenwand brechen

Ich habe in der vorhergehenden Antwort vergessen, einen weiteren interessanten dynamischen Aspekt zu erwähnen, der zu der beobachteten "Schärfe" des Übergangs zwischen den Bereichen der konstanten Wirbel (im Auge) und der variierenden Wirbel außerhalb beiträgt. Die mittlere wirbelnde Strömung in einem tropischen Wirbelsturm liefert ein Hintergrund-Wirbelprofil, auf dem sich sogenannte " Wirbel-Rossby-Wellen (VRWs)" ausbreiten können. Solche VRWs können große Amplituden erreichen und "brechen" (der Begriff hat in diesem Zusammenhang eine spezifische Definition). Dieses Brechen von VRWs ist beim Mischen von Verwirbelungen sehr effizient(genauer gesagt "Potential Vorticity (PV)"). Dies führt zu einer Versteilerung des Vorticity-Sprungs in der Augenwand und einer Homogenisierung knapp außerhalb davon (in der sogenannten "Surfzone"), da ein brechendes VRW Luft mit hohem PV aus dem Augeninneren mit Luft mit niedrigerem PV außerhalb mischt.

EDIT 2: Konzentrische Augenwände

Es könnte für Sie interessant sein, dass das Geschwindigkeitsprofil am Anfang dieses Beitrags keineswegs immer in TC vorhanden ist. Tatsächlich gibt es ein Phänomen, das als "konzentrische Augenwand" oder "sekundäre Augenwand" bezeichnet wird, bei dem ein zweites Maximum im tangentialen Windprofil auftritt. Dies beeinflusst das Sturmgebilde sowohl in seiner horizontalen Ausdehnung als auch in seiner Intensität immens. Daher ist es ein wichtiges Thema, sie in Supercomputer-Simulationen korrekt abzubilden (zB um bessere Vorhersagen treffen zu können). Dies soll nur veranschaulichen, dass es viele interessante Phänomene im Zusammenhang mit TCs gibt :).

BEARBEITEN 3: Barotrope Instabilität und potenzielle Vorticity-Mischung im Auge

Eine dynamische Erklärung dafür, warum die Vorticity konstant ist. Ich habe erst kürzlich erfahren, dass es aus dynamischer Sicht eine Antwort darauf gibt, warum die Vorticity im TC-Auge konstant ist. Die Erklärung lautet ungefähr so: Betrachten Sie ein nichtlineares Geschwindigkeitsprofil in der Nähe des Ursprungs, sagen wir$V\sim x^\alpha$,$\alpha\neq 1$.

Wenn$\alpha<1$dann ist die Vorticity am Ursprung unendlich, also schließen wir diesen Fall aus. Wenn$\alpha >1$, dann ist das Profil "U-förmig", dh die Verwirbelung ist in der Mitte des Auges am kleinsten, dann in einem Bereich bis zum Radius des maximalen Windes groß und außerhalb des Auges gering Auge. Mit anderen Worten, es gibt eher einen Ring mit hoher Wirbelstärke als eine Scheibe.

Die kritische Erkenntnis, die durch numerische Experimente gestützt wird, ist nun, dass ein solcher Wirbelring anfällig für einen Prozess namens barotrope Instabilität ist , der zu Störungen (VRWs) führt, die in der Amplitude wachsen, indem sie einer mittleren Scherung Energie entziehen. Diese wachsenden Störungen erreichen endliche Amplituden und brechen im Inneren des Auges, um (potenzielle) Wirbel zu mischen, wodurch sie gemischt und homogenisiert werden. Siehe Abb. 3 in diesem Artikel von Schubert, um zu veranschaulichen, was ich meine. Dieses Papier ist auch cool, weil es eine Ableitung der Gleichgewichtswirbelkonfiguration mit einer Maximum-Entropie-Methode gibt.

EDIT 4: Ich habe einen Artikel von Glenn Shutts (jetzt bei MetOffice UK, geschrieben während seiner Zeit am Imperial College) gefunden, der die Badewanne-Hurrikan-Analogie weiter untersucht. Es scheint nicht sehr bekannt zu sein, aber es ist eine sehr interessante Lektüre.

Der konvektive Aufwind im Zentrum liefert die Energie. Die Quelle des Drehimpulses ist die Rotation der Erde. Der Aufwind zieht die Luft in die Mitte, und die Erhaltung des Drehimpulses bewirkt, dass sie bei Verringerung des Radius eine hohe Tangentialgeschwindigkeit erreicht.