Warum ist der Drehimpuls eines Objekts um seine Achse gleich dem einer sich nicht bewegenden parallelen Achse?

Der Drehimpuls ist keine Größe, die für sich allein steht. Der Drehimpuls beschreibt nicht die Rotationsachse oder irgendetwas Spezifisches mit Bewegung im Allgemeinen. Der Drehimpuls beschreibt nur, wo im Raum Translationsimpuls wirkt. In gewisser Weise ist der Drehimpuls nur das Moment des Impulses . Analog dazu, wie Drehmoment das Moment einer Kraft ist.

Die beiden haben die gleiche Definition

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L} & = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} & \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \end{aligned}$$

bei dem die$\boldsymbol{r}\times$Teil betrachtet buchstäblich nur den senkrechten Abstand zur Impulsachse (Schlagachse) oder zur Kraftachse (Wirkungslinie).

Aber warte, da geht der Translationsimpuls nicht immer durch den Massenmittelpunkt$\boldsymbol{p} = m \, \boldsymbol{v}_{\rm CM}$.

Eine Möglichkeit, den Impuls zu definieren, ist, wo und wie stark etwas getroffen werden muss, um seine Bewegung vollständig zu stoppen . Der erforderliche Impuls muss entlang der Impulsachse wirken und ist von gleicher und entgegengesetzter Größe wie der Impuls. Der Impuls würde somit sofort sowohl das Translations- als auch das Rotationsmoment entfernen.

Eine fliegende Kugel braucht also tatsächlich einen Impuls von$-\boldsymbol{p}$durch den Schwerpunkt und stoppt sofort.

Genau wie eine Kraft$\boldsymbol{F}$durch den Massenmittelpunkt hätte ein äquivalentes Drehmoment von$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$, das Momentum$\boldsymbol{p}$des Körpers hat einen äquivalenten Drehimpuls von$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$.

Umgekehrt das Vorhandensein eines Drehmoments$\boldsymbol{\tau}$zeigt an, dass eine versetzte Kraft ausgeübt wird, genauso wie das Vorhandensein eines Rotationsimpulses anzeigt, dass die Impulsachse vom Ursprung versetzt ist.

Der Ort der Aktionslinie oder der Perkussionsachse wird auch durch denselben Ausdruck gefunden

$$\begin{aligned} \boldsymbol{r} & = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} }{ \| \boldsymbol{p} \|^2 } & \boldsymbol{r} & = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau}} {\| \boldsymbol{F} \|^2} \end{aligned}$$

Betrachten wir nun also einen Festkörper mit Massenträgheitsmoment. Schauen Sie sich den Stein an, der zum Eisstockschießen verwendet wird, während er sich auf einer horizontalen, reibungsfreien (fast) Oberfläche bewegt und dreht.

Wenn Sie den Stein an der Bewegung hindern und ihn einfach entlang seines Massenschwerpunkts treten, stoppen Sie den Translationsimpuls, aber er dreht sich weiter und behält seinen Rotationsimpuls bei.

Sie müssten es treten, versetzt vom Massenmittelpunkt, um alle Bewegungen zu stoppen. Um wie viel Offset?

Hier glänzt der Drehimpuls. Der Stein hat einen Eigendrehimpuls um den Massenschwerpunkt

$$\boldsymbol{L}_{\rm CM} = \mathbf{I}_{\rm CM} \boldsymbol{\omega}$$ und der Ort des Versatzes wird durch die obigen Gleichungen gefunden

$$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}_{\rm CM}} { \| \boldsymbol{p} \|^2 }$$

Nun kann dies zu folgendem vereinfacht werden$\| \boldsymbol{r} \| =r = \frac{I \omega}{m v} = \frac{I}{m c}$Wo$I$ist das Massenträgheitsmoment um die Drehachse,$m$ist die Masse und$c$ist der Abstand zwischen dem momentanen Rotationszentrum (da sich der Stein gleichzeitig dreht und verschiebt) und dem Massenzentrum.

Dies ist ähnlich wie beim Billard, bei dem Sie einen Spielball mit einem Versatz treffen$r$um "english" oder "spin" zu erwerben. Der resultierende Drehpunkt liegt bei$c = \frac{I}{m r}$.

Vom Ursprung aus gesehen hat der Drehimpuls zwei Anteile, einen, weil der Schwerpunkt versetzt zum Ursprung wandert, und den zweiten, weil er sich selbst dreht.

$$\boldsymbol{L} = \mathbf{I}_{\rm CM} \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{r}_{\rm CM} \times \boldsymbol{p}$$

Dies ist die gleiche Drehimpulsberechnung, die für die Erde von der Sonne aus gesehen durchgeführt wird, mit sowohl umlaufenden als auch rotierenden Komponenten.

Zusammenfassend der Drehimpuls$\boldsymbol{L}$wird verwendet, um anhand der Beziehung herauszufinden, wo sich die Impulsachse (Schlagachse) im Raum befindet

$$\boxed{ \boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}} { \| \boldsymbol{p} \|^2 }}$$

Diese Achse ist von Bedeutung, da sie den Impulszustand eines starren Körpers beschreibt. Ein entlang der Achse aufgebrachter Impuls mit gleicher und entgegengesetzter Größe wie das Translationsmoment würde einen starren Körper vollständig und augenblicklich anhalten.

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Es gibt einen Sonderfall für ein rein rotierendes Objekt, bei dem eine einzelne Impulsanwendung die Rotation stoppen, aber auch eine Translationsbewegung bewirken würde. In diesem Fall braucht man also ein Impulspaar (zwei gleiche und gegeneinander versetzte Impulse), so wie ein Kraftpaar ein Drehmoment erzeugt.

Selbst wenn ein Objekt beschleunigt, können Sie die Drehmomente um den Massenmittelpunkt (CM) nehmen, indem Sie nur die Kräfte im Trägheitsrahmen berücksichtigen. Wenn Sie einen anderen Punkt im Objekt als das CM zum Bewerten von Drehmomenten verwenden, müssen Sie die Nicht-Trägheitskräfte im Beschleunigungsbezugssystem berücksichtigen.

Wenn Sie einen festen Punkt (den Punkt Q in Ihrer Referenz) auswählen , um den Drehimpuls eines starren Körpers zu berechnen, kann gezeigt werden, dass der Drehimpuls die Summe des Drehimpulses des CM um diesen Punkt plus dem Winkel ist Impuls des Objekts relativ zum CM, wie in Ihrer Referenz behauptet.

Der Text Mechanics von Symon leitet die spezifischen Zusammenhänge für den Drehimpuls eines Teilchensystems her, wobei ein starrer Körper einen Sonderfall darstellt. Dies ergibt sich aus der Manipulation der grundlegenden Definition des Drehimpulses, der auf ein System von Teilchen angewendet wird; speziell definiert als die Summe der Drehimpulse jedes Teilchens. Der Drehimpuls ist insofern etwas knifflig, als er speziell von dem gewählten Punkt abhängt, um den die Größe berechnet werden soll.