Warum ist die Induktivität (L) proportional zur Windungszahl (N²)?

Question

Warum ist die Induktivität (L) proportional zur Windungszahl (N²)?

Physik
Induktor
Magnetik
Induktivität
formel-ableitung

hk Battousai

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

\nabla \times B = μ J + \overset{0}{\overset{⏞}{μ ϵ \frac{\partial E}{\partial t}}} .

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$

Wir nehmen Oberflächenintegration beider Seiten, für die Oberfläche ( $s$ ) innerhalb des mittleren Pfades ( $c$ ) des Kerns.

\int_{s} (\nabla \times B) \cdot d s = μ \int_{s} J \cdot d s

$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$

Wir verwenden den Satz von Stroke , um die linke Seite neu zu schreiben; wo $c$ hat die gleiche Richtung wie der magnetische Fluss $\Phi$ .

\oint_{c} B \cdot d ℓ = μ N ich

$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$

(Das Integral auf der linken Seite ergibt sich $NI$ , weil dort sind $N$ verschiedene Drähte auf der Wicklung.)

Die Magnetfelddichte innerhalb dieser Art von Kernen wird als gleichmäßig angesehen. Also können wir schreiben

B ℓ_{c} \tilde{=} μ N ich ⟹ B = \frac{μ N ich}{ℓ_{c}};

$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$

wo $\ell_c$ ist die mittlere Weglänge des Kerns.

Wir können den magnetischen Fluss aus der magnetischen Flussdichte finden, die wir gefunden haben, indem wir die Querschnittsfläche des Kerns verwenden $A_c$ .

Φ = B {EIN}_{c} = \frac{μ N ich {EIN}_{c}}{ℓ_{c}}

$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$

Per Definition ist die Induktivität die Menge an magnetischem Fluss, die pro angelegtem Strom erzeugt wird, d.h

L \overset{△}{=} \frac{Φ}{ich} .

$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$

Wir finden also die Induktivität des Systems als

L = \frac{Φ}{ich} = \frac{\frac{μ N ich {EIN}_{c}}{ℓ_{c}}}{ich} = \frac{μ N {EIN}_{c}}{ℓ_{c}} .

$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$

Aber alle anderen Quellen ( Beispiel ) geben die Induktivität einer Induktivität wie dieser an

L = \frac{μ N^{2} {EIN}_{c}}{ℓ_{c}} .

$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$

Was ist der Fehler, den ich in meiner Herleitung gemacht habe? Bitte ausführlich erläutern.

Antworten (3)

Warum ist die Induktivität (L) proportional zur Windungszahl (N²)?

Motoprogger · Answer 1

Sie berechnen den Kernfluss mit der obigen Gleichung, und die Induktivität nimmt die Summe aller Flüsse durch jede Windung. Der Fluss durch jede Windung ist derselbe und gleich dem Kernfluss. Der Kernfluss ist proportional zu N, und die Summe des Flusses pro Windung ist proportional zu $N^2$ .

Eine andere Möglichkeit, diese Abhängigkeit auszudrücken, ist zu sagen: wegen magnetischer Kopplung zwischen Windungen.

Meinen Sie das, N Windungen tragen zur Erzeugung des Flusses bei, und wiederum tragen diese N Windungen auf andere Weise zur Erzeugung der Induktion bei, sodass die Induktivität zweimal proportional zu N wird; das ist N²?
Ja, sie tragen zum ersten Mal dazu bei, den Kernfluss zu erzeugen und das zweite Mal, ihn zu „sammeln“.

Andi aka · Answer 2

Stellen Sie sich dann einen Induktor mit einer Windung (links unten) vor und stellen Sie sich vor, dass sich diese einzelne Windung in zwei parallele Drähte aufteilt, die sehr eng gewickelt sind, sodass sie praktisch den gleichen Raum einnehmen (rechts unten).

Die beiden parallelen Drähte nehmen bei einer gegebenen angelegten Spannung jeweils die Hälfte des Stroms des Induktors mit einer Windung auf und nehmen zusammen den gleichen Strom wie die einzelne Windung auf: -

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Aus diesem Grund MUSS jede einzelne Parallelleitung die doppelte Impedanz der Einzelleitung haben und zusammen, wenn sie parallel verdrahtet wird, die gleiche Impedanz wie die Einzelleitung aufweisen. Okay so weit?

Ordnen Sie nun diese beiden Drähte (vor Ihrem geistigen Auge) so an, dass sie miteinander in Reihe geschaltet sind. Die Impedanz ändert sich auf das Vierfache der Impedanz: -

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das bedeutet, dass sich die Induktivität bei einer Windungsverdopplung vervierfacht hat und es trivial ist, dieses Beispiel auf n Windungen zu erweitern.

wow ... ich mochte diese Erklärung wirklich ... ausgezeichnet

Alfred Centauri · Answer 3

Was ist der Fehler, den ich in meiner Herleitung gemacht habe? Bitte ausführlich erläutern.

Die Induktivität ist

L = \frac{λ}{ich} = \frac{N Φ}{ich}

$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$

wo $\lambda$ ist die Flussverbindung - der magnetische Fluss verbindet N Windungen.

Warum ist die Induktivität (L) proportional zur Windungszahl (N²)?

hk Battousai

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