Warum kann sich der Entartungsdruck nicht selbst anpassen, um einem Gravitationskollaps zu widerstehen?

Das Grundproblem besteht darin, dass die Elektronen für einen ausreichend massereichen Stern relativistisch werden. Die feinen Details dieser Berechnung sind ziemlich kompliziert, aber Sie können sich das Argument wie folgt qualitativ vorstellen:

Für nicht-relativistische Fermionen bei Nulltemperatur kann gezeigt werden, dass die Gesamtenergie von$N$Partikel in einer Box von Volumen$V$ist proportional zu$N^{5/3}/V^{2/3}$. Dies kann durch Zählen der Zustandsdichte und unter Verwendung der Tatsache erfolgen, dass die Energie eines nichtrelativistischen Teilchens gehorcht$E \propto |\vec{p}|^{2}$. Für ein sphärisches Radiusvolumen$R$, wir haben$R \propto V^{1/3}$, und die Anzahl der vorhandenen Fermionen ist proportional zur Masse. Das bedeutet, dass die Gesamtenergie der Fermionen proportional ist$M^{5/3}/R^2$. Diese Energie ist positiv.

Andererseits ist die Gravitationsenergie einer festen Kugel negativ und proportional zu$M^2/R$. Dies bedeutet, dass die Gesamtenergie die Summe einer negativen ist$R^{-1}$Begriff und ein positives$R^{-2}$Term, und eine solche Funktion wird irgendwo ein Minimum haben. Dies wird der Gleichgewichtspunkt sein. Bei kleineren Radien wächst die Energie der Entartung schneller als die Bindungsenergie abnimmt, wodurch der Radius wieder auf größere Werte gedrückt wird. Bei größeren Radien tritt das Umgekehrte auf. Das bedeutet, dass der Stern stabil ist.

Dieses Argument hält jedoch nicht für beliebig große Energien, weil schließlich die Fermi-Energie der Elektronen die Ruheenergie des Elektrons übersteigt; mit anderen Worten, die Elektronen werden relativistisch. Dadurch ändert sich das Verhältnis zwischen Energie und Impuls der Elektronen. Für hochrelativistische Elektronen haben wir$E \propto |\vec{p}|$stattdessen; und durch die gleichen Berechnungen (unter völliger Vernachlässigung der Elektronenmasse) stellen wir fest, dass die Gesamtenergie eines relativistischen Fermionengases proportional zu ist$N^{4/3}/V^{1/3} \propto M^{4/3}/R$.

Die gravitative Bindungsenergie bleibt dagegen negativ und proportional zu$M^2/R$. Dies impliziert, dass die Gesamtenergie selbst proportional ist$1/R$, und es gibt kein Extremum der Gesamtenergie des Systems. Da die Fermionenenergie und die Bindungsenergie immer genau gleich schnell zu- oder abnehmen, gibt es keinen stabilen Gleichgewichtsradius. Der Stern wird sich entweder selbst sprengen oder in sich zusammenfallen, je nachdem, ob die kinetische Energie der Fermionen oder die Bindungsenergie der Gravitation überwiegt.

Eine Alternative: Mit zunehmender Masse des Weißen Zwergs werden die Elektronen ultrarelativistisch. Bei ultrarelativistischem Entartungsdruck ist kein hydrostatisches Gleichgewicht möglich.

Hydrostatisches Gleichgewicht erfordert:

$$\frac{dP}{dr} = - \rho g \ .$$ Arbeiten nur mit Proportionalitäten, nicht-relativistischem Entartungsdruck$\propto \rho^{5/3} \propto M^{5/3} R^{-5}$, Wo$\rho$ist Dichte,$M$ist Masse u$R$Radius ist. So können die LHS und RHS der hydrostatischen Gleichgewichtsgleichung geschrieben werden $$\begin{eqnarray} M^{5/3} R^{-6} & \propto & (M R^{-3})(M R^{-2}) \\ & \propto & M^2 R^{-5}\ . \end{eqnarray}$$ Für eine gegebene Masse kann der Radius angepasst werden, um ein Gleichgewicht zu finden.

Für einen massereicheren Stern geht dieser Gleichgewichtsradius wie folgt$R \propto M^{-1/3}$, also hat ein massereicherer Stern einen kleineren Radius und eine höhere Dichte; Die Fermi-Energie des Elektrons steigt und die Elektronen werden ultrarelativistisch.

Der ultrarelativistische Elektronenentartungsdruck ist proportional zu$\rho^{4/3} \propto M^{4/3} R^{-4}$. Wenn wir dies in die hydrostatische Gleichgewichtsgleichung einsetzen, sehen wir

$$\begin{eqnarray} M^{4/3} R^{-5} & \propto & (M R^{-3})(M R^{-2}) \\ & \propto & M^2 R^{-5}\ , \end{eqnarray}$$ und daher gibt es keine mögliche Anpassung des Radius, die diese Gleichung ausgleichen kann. Es ist zufrieden (aber instabil) für nur eine Masse – die Chandrasekhar-Masse.

Bearbeiten:

Beachten Sie, dass dieses einfache Argument konservativ ist. In der Praxis gibt es aus mindestens zwei Gründen eine geringere Masse, über die hinaus eine stabile Konfiguration nicht möglich ist.

1. Bei kleinen Radien und hohen Dichten werden die Fermi-Energien der Elektronen hoch genug, um Elektroneneinfangreaktionen (oder Neutronisierung) zu verursachen. Dies entfernt Elektronen aus dem Gas und senkt den adiabatischen Index darunter$4/3$und es kommt zum Zusammenbruch (oder zur thermonuklearen Detonation).

2. Die obige Behandlung verwendet eine Newtonsche Behandlung des hydrostatischen Gleichgewichts. Dies ist für sehr kleine Weiße Zwerge nicht geeignet. Stattdessen sollte die allgemeine relativistische Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts verwendet werden. Auch hier zeigt sich Druck auf der rechten Seite . Das bedeutet, dass zunehmender Druck einen immer größer werdenden Druckgradienten erfordert, was zu einer Instabilität bei einer endlichen Dichte und einer Masse führt, die kleiner ist als die nicht-allgemein-relativistische Chandrasekhar-Masse.