Warum können wir sagen, dass dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

Question

Warum können wir sagen, dass dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

Jörg Casajus

Ich untersuche, wie sich die Helligkeit einer entfernten Quelle aufgrund der Auswirkungen der Expansion des Universums von einem weit entfernten Beobachter aus betrachtet ändert. Nun offenbar, wenn eine Punktquelle Licht mit Leuchtkraft aussendet $L$ , mit Energieeinheiten über die Zeit, dann wird ein Beobachter, der weit davon entfernt ist, erhalten $L_{obs} \propto \frac{1}{(1+z)^2}$ , mit $z$ der Rotverschiebungsparameter ist.

Dies geschieht dadurch, dass die Energie des emittierten Photons um einen Faktor rotverschoben ist $(1+z)$ wegen der Expansion des Universums UND weil $dt_{obs}=(1+z)dt$ , also nimmt auch die Geschwindigkeit ab, mit der die Photonen ankommen, und somit haben wir das $L_{obs} \propto \frac{1}{(1+z)^2}$ Beziehung. Ich kann jedoch keine intuitive Erklärung dafür finden, warum $dt_{obs}=(1+z)dt$ gilt, denn soweit ich weiß, während wir in der Friedmann-Robertson-Walker-Metrik arbeiten, ist es der räumliche Teil des Raums (verzeihen Sie die Wiederholung), der sich ausdehnt.

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Warum können wir sagen, dass dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

2PiOmega · Answer 1

Auf intuitive Weise besteht die Leuchtkraft im Grunde aus Photonen. Stellen Sie sich eine Quelle (wie einen Stern) vor, die isotrop Photonen mit einer Leuchtkraft L emittiert. Im flachen Raum (Minkovsky) ohne Ausdehnung ist der beobachtete Fluss

F = \frac{L}{4 π D^{2}}

$F = \frac{L}{4\pi d^2}$ weil Photonen kugelförmig emittiert werden und die Oberfläche einer Kugel ist

S = 4 π r^{2}

$S=4\pi r^2$ .

Aber Sie wissen, dass sich unser Universum ausdehnt, die Metrik des Universums ist gegeben durch:

D S^{2} = D T^{2} - A^{2} (T) {D R^{2} + D θ^{2} + {Sünde}^{2} (θ) D ϕ^{2}}

$ds^2 = dt^2 - a^2(t) \left\{ dr^2 + d\theta^2+\sin^2(\theta)d\phi^2\right\}$ Denken Sie daran für Photonen

d s^{2} = 0

$ds^2=0$ Stellen Sie sich vor, ein Photon wird bei emittiert

t_{0}

$t_0$ die Zeit, zu der ein Beobachter es bekommt

t_{r}

$t_r$ und wir haben:

C \int_{T_{0}}^{T_{R}} \frac{D T}{A (T)} = - \int_{R}^{0} D R

$c\int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} = -\int_{r}^{0}dr$ wo das Minuszeichen erscheint, weil das Photon zum Beobachter gesendet wird. Nach einiger Zeit wird ein zweites Photon emittiert

δ t_{o}

$\delta t_o$ und zeitverzögert empfangen

δ t_{r}

$\delta t_r$ :

C \int_{T_{0} + δ T_{0}}^{T_{R} + δ T_{R}} \frac{D T}{A (T)} = - \int_{R}^{0} D R = C \int_{T_{0}}^{T_{R}} \frac{D T}{A (T)} \int_{T_{0} + δ T_{0}}^{T_{R} + δ T_{R}} \frac{D T}{A (T)} - \int_{T_{0}}^{T_{R}} \frac{D T}{A (T)} = 0

$c\int_{t_0+\delta t_0}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} = -\int_{r}^{0}dr=c\int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)}\\ \int_{t_0+\delta t_0}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} -\int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} =0$ Wir können zerlegen:

\int_{T_{0} + δ T_{0}}^{T_{R} + δ T_{R}} \frac{D T}{A (T)} = \int_{T_{0} + δ T_{0}}^{T_{R}} \frac{D T}{A (T)} + \int_{T_{R}}^{T_{R} + δ T_{R}} \frac{D T}{A (T)}

$\int_{t_0+\delta t_0}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} = \int_{t_0+\delta t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} +\int_{t_r}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)}$ und bemerke das:

\int_{T_{0} + δ T_{0}}^{T_{R}} \frac{D T}{A (T)} - \int_{T_{0}}^{T_{R}} \frac{D T}{A (T)} = \int_{T_{0} + δ T_{0}}^{T_{0}} \frac{D T}{A (T)} = \frac{- δ T_{0}}{A (T_{0})}

$\int_{t_0+\delta t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} - \int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} = \int_{t_0+\delta t_0}^{t_0} \frac{dt}{a(t)}= \frac{-\delta t_0}{a(t_0)}$

Wir haben:

\int_{T_{R}}^{T_{R} + δ T_{R}} \frac{D T}{A (T)} = \frac{δ T_{R}}{A (T_{R})}

$\int_{t_r}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} = \frac{\delta t_r}{a(t_r)}$

Wenn wir alles zusammenfügen, erhalten wir:

δ T_{R} = \frac{A (T_{R})}{A (T_{0})} δ T_{0} = (1 + z) δ T_{0}

$\delta t_r = \frac{a(t_r)}{a(t_0)}\delta t_0 = (1+z)\delta t_0$

Tatsächlich wirkt sich die Expansion des Universums auf die Zeit aus. Ich denke, die Tatsache, dass der Expansionsfaktor in der FLRW-Metrik nicht vor die Zeit gestellt wird, ist nur konventionell, da in der Allgemeinen Relativitätstheorie Koordinaten willkürlich sind und wir in der Kosmologie manchmal konforme Zeit verwenden $d\eta = dt/a$ und erlauben, die FLRW-Metrik umzuschreiben als:

D S^{2} = A^{2} {D η^{2} - (D R^{2} + D θ^{2} + {Sünde}^{2} (θ) D ϕ^{2})}

$ds^2 = a^2\left\{d\eta^2 - \left( dr^2 + d\theta^2+\sin^2(\theta)d\phi^2\right)\right\}$

Ich hoffe, es wird Ihnen helfen, und ich mache keinen Fehler in meiner Erklärung!

Warum können wir sagen, dass dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

Jörg Casajus

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2PiOmega

Jörg Casajus

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