Die Beschleunigung des Universums anhand eines einzelnen Sterns bestimmen?

Um dies zu beantworten, müssen wir herausfinden, wie schnell sich die Rotverschiebung ändert, und dann entscheiden, ob die Änderung groß genug ist, um sie auf der Art von Zeitskalen zu messen, die wir für die Messung verwenden können.

Wir beschreiben die Expansion des Universums durch einen Skalierungsfaktor, den wir derzeit üblicherweise auf Eins setzen. Dann ist die aktuelle Entfernung zu einem Stern$x_0$die zeitliche Änderung der Entfernung ist gegeben durch:

$$x(t) = a(t)x_0$$

Und eine schnelle Differenzierung ergibt die Beschleunigung des Sterns als:

$$\ddot{x} = \ddot{a} x_0$$

Die Geschwindigkeitsänderung und damit die Änderung der Rotverschiebung in einer gewissen Zeit$t$ist circa$\Delta v = \ddot x t = \ddot a x_0 t$wenn wir die Beschleunigung als konstant annähern, was eine gute Annäherung an menschliche Zeitskalen ist.

Die Beschleunigung des Skalierungsfaktors ergibt sich aus der zweiten Friedmann-Gleichung:

$$\frac{\ddot a}{a} = \frac{-4\pi G}{3}\left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

Der Druck ist ungefähr Null und derzeit$a = 1$das vereinfacht sich also zu:

$$\ddot a = -\tfrac{4}{3} \pi G\rho + \tfrac{1}{3}\Lambda c^2$$

Die Materiedichte (einschließlich dunkler Materie) beträgt etwa zwei Wasserstoffatome pro Kubikmeter oder umgerechnet auf SI:

$$\tfrac43\pi G\rho \approx 9 \times 10^{-37} \,\text{s}^{-2}$$

Der aktuelle Wert der kosmologischen Konstante ist$10^{−52}$M$^{−2}$, und das macht den zweiten Term:

$$\frac{\Lambda c^2}{3} \approx 3 \times 10^{-36} s^{-2}$$

Geben Sie uns den aktuellen Wert für$\ddot a$:

$$\ddot a \approx 2 \times 10^{-36} s^{-2}$$

Es bleibt nur zu entscheiden, wie weit entfernt wir einen einzelnen Stern zuverlässig überwachen können und wie lange wir das Experiment durchführen wollen. Nehmen wir eine Milliarde Lichtjahre als Entfernung ($10^{25}$Meter) und zehn Jahre für die Versuchsdauer ($3 \times 10^8$Sekunden) und wir erhalten:

$$\Delta v \approx 0.006 \,\text{m/s}$$

Wir können die Rotverschiebung aufgrund so kleiner Geschwindigkeiten messen, zum Beispiel mit dem Mössbauer-Effekt, aber nur unter sehr sorgfältig kontrollierten Laborbedingungen. Wir hätten absolut keine Hoffnung, dies mit einem Stern zu tun, der eine Milliarde Lichtjahre entfernt ist. In jedem Fall wird der Stern aufgrund der Gravitationsfelder, in denen er sich bewegt, eine gewisse Eigenbewegung aufweisen, und wir konnten nicht sicher sein, dass eine so kleine Geschwindigkeitsänderung nicht nur auf die lokale Gravitationsbeschleunigung zurückzuführen ist, sondern auf die Ausdehnung der Raumzeit.

Zusammenfassend ist es eine nette Idee, aber leider nicht machbar.

Um die Beschleunigung eines Sterns sehen zu können, muss man mit einer Genauigkeit messen, die viel besser ist als der aktuelle Messfehler bei Rotverschiebungen. Übrigens wird die Ausdehnung des Weltraums an der Veränderung des Spektrums von Galaxien gemessen, nicht von Sternen.

Im Wiki-Artikel sieht man einen Plot

Diagramm der Entfernung (in Giga-Lichtjahren) vs. Rotverschiebung gemäß dem Lambda-CDM-Modell. dH (durchgehend schwarz) ist die Bewegungsentfernung von der Erde zu dem Ort mit der Hubble-Rotverschiebung z, während ctLB (in gepunktetem Rot) die Lichtgeschwindigkeit multipliziert mit der Rückblickzeit auf die Hubble-Rotverschiebung z ist. Die Comovering-Distanz ist die physische raumähnliche Distanz zwischen hier und dem entfernten Ort, asymptotisch mit der Größe des beobachtbaren Universums von etwa 47 Milliarden Lichtjahren. Die Lookback-Zeit ist die Entfernung, die ein Photon seit seiner Emission bis heute zurückgelegt hat, dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit, wobei eine maximale Entfernung von 13,8 Milliarden Lichtjahren dem Alter des Universums entspricht.

Die Skala ist in Giga- Lichtjahren, eine Fehlerrechnung auf dieser Kurve würde immer noch in Bruchteilen von Giga-Lichtjahren liegen. Eine Änderung zu messen, über der eine Änderung der Rotverschiebung registriert werden könnte, um damit eine Beschleunigung zu messen, ist nicht möglich in menschlichen Lebenszeiten, die Jahre zählen, und kann daher Änderungen in Lichtjahren sehen.

Im Prinzip ist das Experiment machbar (für eine Galaxie kein Stern), aber nicht für Menschen.

Die Idee, die zeitliche Änderung der Rotverschiebung einer fernen Galaxie zu messen, gibt es mindestens seit den 1960er Jahren . Leider übersteigt es unsere technischen Möglichkeiten bei weitem. In einem früheren Beitrag habe ich die Gleichung für hergeleitet$\dot{z}$:

$$\dot{z} = (1+z)H_0 - H\!\left(\!\frac{1}{1+z}\!\right),$$ Wo$H(a)$ist der Hubble-Parameter, ausgedrückt als Skalierungsfaktor. In einem$\Lambda$CDM-Modell mit$H_0 = 68\ \text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$, dies ergibt den folgenden Plot:

Wie du sehen kannst,$\dot{z}\sim 10^{-10}$pro Jahr. Mit der aktuellen Technologie können Quasar-Rotverschiebungen mit einer Genauigkeit von bis zu gemessen werden$10^{-5}$(siehe Davis & Lineweaver (2003) , Abschnitt 4.3). Mit anderen Worten, mit der aktuellen Technologie würde es immer noch ~100.000 Jahre dauern, um eine Änderung der Rotverschiebung zu messen. Es ist eine großartige Idee, aber wir haben noch einen langen Weg vor uns, bevor sie machbar wird.

Sie müssen nur die Rezessionsgeschwindigkeit einer beliebigen astronomischen Quelle messen.

Die richtige Entfernung zu einer bestimmten Quelle$d$hängt mit der Mitfahrstrecke zusammen$\chi$durch:

$$d(t) = a(t) \chi$$

Wo$a(t)$ist der Skalierungsfaktor für die Expansion des Universums. Dann kann die Rezessionsgeschwindigkeit geschrieben werden als:

$$\dot{d} = \dot{a} \chi = \frac{\dot{a}}{a} d$$

Also die Hubble-Konstante$H\equiv \dot{a}/a$misst die Expansionsrate des Universums in der obigen Beziehung aus der Rezessionsgeschwindigkeit der Quelle und dem richtigen Abstand zu ihr.