Erklärt GR die kosmologische Zeitdilatation?

Ich denke, Ihre Hauptverwirrung besteht darin, zu denken, dass Zeitdilatation ist$dt/dτ$. Diese Definition ist bedeutungslos, weil Koordinatensysteme willkürlich und bedeutungslos sind. Es kann sein, dass nicht einmal eine Koordinate genannt wird$t$.

Der Grund$dt/dτ$Nützlich bei Schwarzschild-Koordinaten ist, dass Schwarzschild-Koordinaten eine Translationssymmetrie haben$t\mapsto t+δt$. Sie können also folgendes Argument anführen: Angenommen, Sie senden zwei Lichtimpulse aus$(t_e, \mathbf x_e)$Und$(t_e{+}δt_e, \mathbf x_e)$, und sie werden empfangen bei$(t_r, \mathbf x_r)$Und$(t_r{+}δt_r, \mathbf x_r)$. Der Weg, dem das Licht folgt, mag kompliziert sein, aber unabhängig von den Details folgt dies aus der Symmetrie$δt_e = δt_r$. Daher ist der Rotverschiebungs-/Zeitdilatationsfaktor$δτ_r/δτ_e$, ist gleich$(δt_e/δτ_e)/(δt_r/δτ_r)$.

In FLRW-Koordinaten können Sie ähnlich argumentieren. Die Metrik unterdrückt zwei räumliche Dimensionen$dt^2-a(t)^2 dx^2$. Dies hat eine Translationssymmetrie$x\mapsto x+δx$. Wenn Sie also zwei Strahlen aussenden$(t_e,x_e)$Und$(t_e,x_e{+}δx_e)$und sie werden bei empfangen$(t_r,x_r{+}δx_r)$, durch Symmetrie$δx_e=δx_r$und das Verhältnis von empfangener und emittierter Wellenlänge ist$(δx_e/δχ_e)/(δx_r/δχ_r) = a(t_r)/a(t_e)$(Wo$χ=a(t)\,x$). Wenn$δx$klein genug ist, dann ist das$(t,χ)$Koordinaten sind im Wesentlichen Minkowskische und$δt_r/δt_e = a(t_r)/a(t_e)$sowie.

Diesen beiden Sonderfällen werden die Namen „gravitative Rotverschiebung“ und „kosmologische Rotverschiebung“ gegeben, sie unterscheiden sich von allgemeinen Rotverschiebungen jedoch nur dadurch, dass sie durch bestimmte Symmetrieargumente leicht zu berechnen sind. In der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es nur eine Art von Rotverschiebung, und im Prinzip können Sie sie immer berechnen, indem Sie die Wege von Lichtstrahlen berechnen, die an leicht unterschiedlichen Positionen in der Raumzeit emittiert werden.

Zeitdilatation und Rotverschiebung sind eng miteinander verbunden.

Ein Gedankenexperiment

Stellen Sie sich einen Außerirdischen in einer fernen Galaxie vor, der zwei Laser auf die Erde richtet. Die eine ist sehr langwellig und die andere sehr kurzwellig. Der Außerirdische hat die Dinge so arrangiert, dass sie bei jedem Zyklus des langwelligen Lasers einen kurzen Impuls mit kurzer Wellenlänge senden. Sie können sich vorstellen, dass der kurze Impuls gleichzeitig von einem der Spitzen des langwelligen Lasers emittiert wird.

Wenn wir anrufen$\lambda_L$die lange Wellenlänge (wie vom Außerirdischen gemessen), dann emittiert der andere Laser Impulse in Intervallen von$\Delta t =\lambda_L / c$(wie vom Außerirdischen gemessen).

Was siehst du von der Erde? Nun, wegen der Rotverschiebung erhalten Sie eine Wellenlänge

$$\lambda_L' = (1+z)\lambda_L.$$ In welchen Abständen kommen die Pulse des anderen Lasers? Nun, im Vakuum ist die Gruppengeschwindigkeit des Lichts gleich der Phasengeschwindigkeit, wenn der kurze Impuls zur gleichen Zeit wie einer der Scheitel emittiert wird, wird er zur gleichen Zeit wie der Scheitel bei Ihnen ankommen. Es wird also in Abständen von eintreffen $$\Delta t' = \lambda_L'/c = (1+z)\lambda_L / c = (1+z)\Delta t.$$ Das ist Zeitdilatation. Das Alien kann verwenden$\Delta t$als Zeiteinheit und misst alle seine Aktivitäten mit dieser Einheit. Wenn sie jeden Silvester feiern$10^{10}\Delta t$, Sie werden das Feuerwerk jeden Tag sehen$(1+z)10^{10}\Delta t$.

(Wir haben die Tatsache außer Acht gelassen, dass sich der Laserpuls ausbreitet. Sie denken an die Modulation der Intensitätsmaxima des kurzen Lasers oder das Senden der Pulse alle$n$Kämme, damit die Spreizung keine Überlappung verursacht. Wie auch immer, GR erlaubt masselose Punktteilchen, also kannst du dir das einfach vorstellen.)

Verwirrungsalarm

Beachten Sie, dass ich es so meinte , als ich oben „siehe“ sagte . Es ist eine Beschreibung von Beobachtungen von EM-Phänomenen auf der Erde. Es gibt eine Menge Verwirrung da draußen, wenn es um Zeitdilatation in der Relativitätstheorie geht.

Sehen Sie sich dieses Beispiel an. Jeder Teil der Diskussion, die ich oben geführt habe, gilt gleichermaßen für Beobachter, die sich in der Minkowski-Raumzeit von Ihnen entfernen , wo$z>0$. Es führt Sie zu dem Schluss, dass Sie, wenn sich ein Außerirdischer in einem Raumschiff im flachen Raum von Ihnen wegbewegt, ihn in Zeitlupe sehen.

Aber Sie könnten die gleiche Diskussion mit dem Außerirdischen führen, der in der Minkowski-Raumzeit auf Sie zukommt$z<0$. In diesem Fall würden Sie schlussfolgern, dass Sie sehen, wie der Außerirdische beschleunigt. Aber wir wissen beide, dass das nicht stimmen kann, oder? Haben wir nicht gelernt, dass die Zeit langsamer vergeht, wenn sich ein System relativ zu uns bewegt?

Verschiedene Bedeutungen der Zeitdilatation

Um diese Verwirrung aufzuklären, lassen Sie uns ein wenig formeller sein. Beginnen wir in einem Inertialsystem$(t,x)$im Minkowski-Raum (wir brauchen nur 1+1-Dimensionen). Lassen Sie einen Beobachter eine durch gegebene Weltlinie nachzeichnen$x = f(t)$. Dann ist Zeitdilatation die Aussage, dass

$$\int_{t_0}^{t_1} dt \sqrt{\eta_{\mu\nu}{\dot x(t)}{\dot x(t)}} < t_1 - t_0,$$ oder in Worten, dass die richtige Zeit entlang der Flugbahn zwischen den Ereignissen verstrichen ist$(t_0,x(t_0))$Und$(t_1,x(t_1))$kleiner ist als die Differenz der Koordinatenzeiten $t_1-t_0$.

Ok, aber denken Sie daran, dass Koordinaten in der Relativitätstheorie nicht viel bedeuten, und Sie sollten vorsichtig sein, wenn Sie sie interpretieren. Wenn Sie sie nicht mit einem koordinatenunabhängigen Ding verbinden, riskieren Sie, in Schwierigkeiten zu geraten.

Zum Beispiel haben Sie im Zwillingsparadoxon Bob, der in Ruhe am Ursprung der Koordinaten sitzt, und Alice in ihrer Rakete, die am Ursprung startet und zu Bob zurückkehrt. Jetzt haben wir zwei Weltlinien, die sich zweimal schneiden, und wir können fragen: Wie vergleichen sich die Eigenzeiten entlang der Weltlinie von Alice und Bob? Bob sitzt am Ursprung der Trägheitskoordinaten, also ist seine Eigenzeit nur die Differenz der Zeit der Koordinaten, dh die rechte Seite der obigen Gleichung. Jetzt können wir also der Zeitdilatation eine operative Bedeutung geben, ohne auf Koordinaten zurückgreifen zu müssen: Wenn Alice und Bob sich wiedersehen, ist Alices Uhr weniger oft getickt als die von Bob.

Aber bedeutet das, dass Bob sieht, wie sich Alice in Zeitlupe bewegt? Nein. Die obige Aussage bezieht sich auf den Vergleich zwischen zwei Ereignissen, die passieren, wenn sich Alices und Bobs Weltlinien treffen, während Bob sieht , ist nur eine Frage zu Ereignissen entlang Bobs Weltlinie. Genauer gesagt handelt es sich um Ereignisse, bei denen Photonen, die Alice verlassen, Bobs Weltlinie kreuzen. Um zu beantworten, was Bob sieht, betrachten wir die obige Diskussion mit Rotverschiebung. Bob sieht Alice für eine Weile rotverschoben (und somit in Zeitlupe) und gegen Ende der Reise blauverschoben. Siehe meine Antwort hier für mehr Details.

Kosmologische Zeit

Wir haben also zwei verschiedene Konzepte der Zeitdilatation. Welches ist besser? Es kommt auf die Anwendung an. Beachten Sie, dass das Vergleichen von Uhren nicht für die zurückweichenden Galaxien gilt.

Beachten Sie, dass Ihre Ableitung das ist$d\tau = dt$für alle mitbewegten betrachter ist absolut richtig. In der FLRW-Metrik existiert ein Koordinatensystem, so dass die Zeitkoordinate der Eigenzeit der meisten Galaxien entspricht. Dies ist auch die Koordinate, in der die meisten Galaxien ruhen. Um jedoch Astrophysik zu betreiben, müssen Sie diese Fakten in Dinge übersetzen, die Sie von der Erde aus beobachten können. Nun, der Abstand zwischen Galaxien (gemessen anhand der Photonenflugzeit) nimmt zu, und das Licht von Galaxien ist rotverschoben, und entfernte astrophysikalische Phänomene laufen in Zeitlupe ab.

Die kosmologische Rotverschiebung kann in GR als Photonenwellenlängendehnung mit expandierendem Raum verstanden werden, aber so wie ich es verstehe, ist die kosmologische Zeitdilatation ein anderes Phänomen

Aus dem zitierten Material geht hervor, dass Ned Wright die gravitative Zeitdilatation als einen anderen Begriff für die gravitative Rotverschiebung verwendet. Höchstens scheint er eins als verschiedene Arten zu betrachten, dasselbe zu sagen. Ab dem ersten Zitat

Die Zeitdilatation ist eine Folge der Standardinterpretation der Rotverschiebung: Eine Supernova, die 20 Tage zum Zerfallen braucht, scheint 40 Tage zum Zerfallen zu brauchen, wenn sie bei einer Rotverschiebung von z = 1 beobachtet wird

Wo er sagt, dass die Zeitdilatation eine Interpretation der Rotverschiebung ist.

Das müde Lichtmodell sagt die beobachtete Zeitdilatation von Supernova-Lichtkurven mit hoher Rotverschiebung nicht voraus.

Was er mit einem Diagramm mit der Rotverschiebung (z) als horizontale Achse unterstützt.

In der Schwarzschild-Metrik gibt es ein Gravitationspotential und die Zeitdilatation kann als Funktion des Potentials betrachtet werden. Aber die FLRW-Metrik hat kein Potenzial. Durch diese Analogie, wie Sie darauf hingewiesen haben, gibt es also keine gravitative Zeitdilatation in der kosmologischen Raumzeit. Sie können natürlich die Bedeutung des Begriffs zwischen Raumzeiten ändern, wie es Wright anscheinend tut. Aber dabei gelten nicht die gleichen Regeln.