$\renewcommand{ket}[1]{|#1\rangle}$Die grundlegende logische Verbindung hier ist

$$\text{symmetry} \rightarrow \text{degeneracy} \rightarrow \text{avoided crossing} \rightarrow \text{band gap} \, .$$

$\textrm{symmetry}\rightarrow \textrm{degeneracy}$

Betrachten Sie einen Operator$S$und lass$T(t) = \exp[-i H t / \hbar]$sei der Zeitentwicklungsoperator. Wenn

$$[ T(t), S] = 0$$ dann $S$ist eine Symmetrietransformation. Wir können sehen, warum diese Kommutierungsbedingung eine sinnvolle Definition von Symmetrie ist, indem wir einen Anfangszustand betrachten $\ket{\Psi}$und der transformierte Zustand $\ket{\Psi'} \equiv S \ket{\Psi}$. Wenn $[T, S] = 0$, dann $$\begin{align} T S \ket{\Psi} &= S T \ket{\Psi} \\ T \ket{\Psi'} &= S \ket{\Psi(t)} \\ \ket{\Psi'(t)} &= S \ket{\Psi(t)} \, . \end{align}$$ Dies besagt, dass wir, wenn wir einen Anfangszustand transformieren und ihn dann durch die Zeit propagieren (linke Seite), dasselbe erhalten, als wenn wir uns durch die Zeit propagieren und dann transformieren (rechte Seite). Stellen Sie sich einen 1D-Hamiltonoperator mit Links/Rechts-Symmetrie vor. Diese Symmetrie bedeutet, dass zB ein sich nach rechts bewegendes Wellenpaket der Spiegel eines sich nach links bewegenden Wellenpakets ist. Mit anderen Worten, wenn wir uns rechtzeitig bewegen $t$und dann spiegeln, erhalten wir nach einiger Zeit dasselbe wie das linke sich bewegende Paket $t$.

Eine einfache Möglichkeit, einen Operator zu finden$S$mit dem pendelt$T$ist, einen zu finden, der mit pendelt$H$. Wenn$S$pendelt mit$H$dann haben wir Entartung, weil für einen Energie-Eigenzustand$\ket{\Psi}$mit Eigenwert$E$wir haben

$$H (S \ket{\Psi}) = S H \ket{\Psi} = E (S \ket{\Psi})$$ was das sagt $S\ket{\Psi}$ist auch ein Eigenzustand von $H$mit Energie $E$. Beachten Sie, dass dies auch zeigt, dass die Anzahl der entarteten Zustände gleich der Anzahl der möglichen Multiplikationen ist $S$von selbst, bevor Sie die Identität erhalten.

$\textrm{degeneracy} \rightarrow \textrm{avoided crossing}$

Angenommen, Sie haben einen Hamiltonoperator$H$was von einem Parameter abhängt$\lambda$, und nehmen Sie für einen bestimmten Wert an$\lambda_0$,$H$hat eine Symmetrie und damit eine Entartung. Dies wird durch die gepunkteten Linien im Diagramm veranschaulicht, die die Energien der Zustände zeigen$\ket{\Psi}$und$S\ket{\Psi}$als Funktionen von$\lambda$; sie kreuzen sich bei$\lambda_0$. Wenn es einen anderen Begriff gibt$V$im Hamiltonoperator, der unter nicht symmetrisch ist$S$, dann verschwindet die Entartung und die Energien für$\ket{\Psi}$und$\ket{\Psi'}$überquere nicht. Dieser berühmte "vermiedene Bahnübergang" ist in der Figur durch die durchgezogenen Linien angedeutet.$^{[a]}$Die Berechnung der Lücke in der vermiedenen Bahnüberquerung ist ein Standardproblem in der Hamiltonschen Mechanik und kann unter Verwendung der Störungstheorie unter Berücksichtigung der beiden an der Überquerung beteiligten Ebenen durchgeführt werden.

$\textrm{avoided crossing} \rightarrow \text{band gap}$

Der Hamilton-Operator für ein Elektron in einem Kristall hat drei Teile: kinetische Energie, potentielle Energie und Elektron-Elektron-Kopplung. Vergessen wir die Elektron-Elektron-Wechselwirkungen vollständig und nehmen wir an, dass die potenzielle Energie des Kristalls im Vergleich zu den kinetischen Energien der Elektronen schwach ist. In diesem Fall können wir die kinetische Energie als den starken Anteil behandeln$H$und die potentielle Energie als schwacher Teil$V$des Hamiltonian. Das stellt sich heraus, wenn man die kinetischen Energien des Elektrons in einem periodischen Gitter als Funktion des Kristallimpulses berechnet$\vec{k}$Überall ist Entartung$\vec{k}$trifft ein Bragg-Flugzeug. Denke jetzt an$\vec{k}$die Rolle spielen$\lambda$haben wir eine Energiekreuzung, wenn der Kristallimpuls auf eine Bragg-Ebene trifft.

Wenn wir die potentielle Energie des Gitters hinzufügen, spielt sie die Rolle von$V$und spaltet die Entartung, wodurch eine sogenannte Bandlücke entsteht.

$[a]$: Vermiedene Bahnübergänge sind kein Quanteneffekt. Ein klassischer Hamiltonian mit starkem Part$H$mit einer Symmetrie und einem schwächeren Teil$V$Das Brechen dieser Symmetrie weist auch einen vermiedenen Bahnübergang auf.

Referenz: Ich empfehle dringend, die Kapitel 8 und 9 von Ashcroft and Mermin's Solid State Physics zu lesen . Die hier vorgestellten Argumente werden in großem mathematischen Detail erklärt.

Wenn es in der BZ nur ein Bandmaximum gibt, ist dieser Punkt einer der Hochsymmetriepunkte der BZ. Es kann jedoch Fälle geben, in denen es viele Punkte gibt, die ein Bandmaximum sind und sich nicht an einem der Hochsymmetriepunkte der BZ befinden. Diese Punkte sind jedoch alle durch eine Symmetrieoperation verbunden.

Ein Beispiel für ein System mit Bandminima abseits von Symmetriepunkten ist vielleicht etwas esoterisch, wie topologische Isolatoren, zweidimensionale Elektronengase, ... In diesem Fall ist die Spin-Bahn-Kopplung für die "Aufspaltung" des Bandes verantwortlich Minimum in zwei Punkten, die durch Chiralsymmetrie verbunden sind. (Referenz: Spin-Bahn-Kopplung in Quantengasen , siehe Abbildung 1)

Um den Zusammenhang zwischen Bandmaxima und Symmetrien zu verstehen, nehmen wir die Menge der Symmetrieoperationen$\Pi_i$der Symmetriegruppe des Materials. Nehmen wir nun an, dass der Punkt$\mathbf{k}^*$ein Bandmaximum (oder -minimum) ist. In diesem Fall die symmetrischen Punkte$\Pi_i \mathbf{k}^*$und$\Pi_i^n \mathbf{k}^*=(\Pi_i\dots\Pi_i) \mathbf{k}^*$sind auch Bandmaxima (oder -minima), aus dem einfachen Grund, dass die Energie dieselbe ist$E(\Pi^n_i \mathbf{k}^*)=E(\mathbf{k}^*)$.

Abgesehen von zufälligen Entartungen gibt es nur zwei Fälle:

1) Es gibt maximal ein Band$\mathbf{k}^*$Dies ist ein hoher Symmetriepunkt in Bezug auf alle Transformationen$\Pi_i$der Symmetriegruppe (typischerweise das Zentrum der BZ). In diesem Fall,$\Pi_i\,\mathbf{k}^*=\mathbf{k}^*$(und auch$\Pi^n_i \mathbf{k}^*=\mathbf{k}^*$für jede ganze Zahl$n$).

2) Es gibt viele Bandmaxima, die über eine Symmetrietransformation miteinander verbunden sind$\Pi_i^n$der Symmetriegruppe.

Daher kann es Fälle geben, in denen es mehrere Punkte gibt, die Bandmaxima (oder -minima) sind und sich nicht an einem der Hochsymmetriepunkte der BZ befinden. In diesem Fall sind diese Punkte alle durch eine Symmetrieoperation verbunden. Man kann jedoch die irreduzible BZ betrachten, die die erste um alle Symmetrien reduzierte Brillouin-Zone in der Punktgruppe des Gitters ist. Da alle Maxima durch eine Symmetrieoperation verbunden sind, kann es in der irreduziblen BZ nur ein Bandmaximum (oder -minimum) geben.

EDIT : Allerdings ist es oft so, dass die Bandstruktur das Bandminimum in der Mitte der BZ zeigt. Dies kann durch die einfache Tatsache erklärt werden, dass in einer Vielzahl von Materialien, wie Metallen, Halbleitern und herkömmlichen Isolatoren, die Bandstruktur in der Nahezu-Freie-Elektronen-Näherung gut beschrieben ist . In diesen Materialien können die Coulomb-Abstoßung zwischen Elektronen und andere Arten von Wechselwirkungen vernachlässigt werden, und man verbleibt mit einem einfacheren Hamilton-Operator, der nur Wechselwirkungen zwischen den Elektronen und dem Gitter enthält

$$H =-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\lambda V(\mathbf{r}),$$ wobei der erste Term die kinetische Energie von Elektronen ist und $V(\mathbf{r})$ist die Coulomb-Anziehung zwischen den Elektronen und dem Ionengitter. Die Energieniveaus können in diesem Fall geschrieben werden als $$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m} + O(\lambda)$$ wo $O(\lambda)<0$ist die Korrektur des kinetischen Terms aufgrund der Elektron-Gitter-Wechselwirkung. Dieser Term ist negativ, da die Energie des Elektronengittersystems niedriger ist als die Energie eines Systems, das nur aus Elektronen im Vakuum besteht. Wenn die Korrektur klein ist und der kinetische Term die führende Energieordnung ist, hat man die wohlbekannte parabolische Streuung $E\propto k^2$das ist eine gute Annäherung in der Nähe des Zentrums der BZ $k=0$, was auch das Energieminimum ist. Solange die Nahezu-freie-Elektronen-Näherung gilt und die Elektron-Ion-Wechselwirkung klein ist, befindet sich das Bandminimum daher im Zentrum der BZ. Eine semiklassische Interpretation dieses Ergebnisses ist, dass die Energie minimal ist, wenn sich Elektronen nicht bewegen ( $\mathbf{k}=0$).

Dieses Ergebnis gilt auch, wenn man eine endliche Elektron-Ion-Wechselwirkung (den Korrekturterm$O(\lambda)$), zumindest in Materialien mit hoher Symmetrie (z. B. kubisches Gitter). In diesem Fall wird die Elektronendispersion modifiziert und ist proportional zum Cosinus des Impulses$\mathbf{k}$Komponenten (z. B. im Tight-Binding-Ansatz).

Bei stark korrelierten Systemen (z. B. Mott-Isolatoren) oder bei Systemen, bei denen die Spin-Bahn-Kopplung relevant ist (topologische Isolatoren, schwere Elemente mit teilgefüllten$f$-Schalen) schlägt die Nahezu-Freie-Elektronen-Näherung fehl und das Bandminimum liegt möglicherweise nicht mehr im Zentrum der BZ. Die am besten untersuchten Gegenbeispiele einer Bandstruktur, bei der das Bandminimum vom BZ-Eingang entfernt ist, sind topologische Isolatoren.

Wenn die Bandextrema an unsymmetrischen Punkten in der Brillouin-Zone auftreten (notwendigerweise mehrfach, da sie durch die Raumsymmetriegruppe zusammenhängen müssen), dann haben die Leitungselektronen am Metall-Band-Isolator-Übergang inkommensurable Impulse und ihre Wellenfunktionen nur quasiperiodisch sein. Dies ist ungewöhnlich, kommt aber gelegentlich vor. Es ist ein mathematisch ähnliches Phänomen wie Quasikristalle.

Betrachten Sie als einfaches konkretes Beispiel eine 1D-Kette mit Hopping-Termen des nächsten Nachbarn und Anti-Hopping-Termen des nächsten Nachbarn:

$$H = \sum_i \left[ -t_1 \left(a_{i+1}^\dagger a_i + a_i^\dagger a_{i+1} \right) + t_2 \left(a_{i+2}^\dagger a_i + a_i^\dagger a_{i+2} \right) \right]$$

Im Impulsraum wird dies

$$H = \int \frac{dk}{2\pi} \left[ -t_1 \cos(k) + t_2 \cos(2k) \right].$$ Wenn$t_2 > t_1/4$, dann treten die Bandminima bei (allgemein) inkommensurablen Impulsen auf$k = \pm \arccos \left(\frac{t_1}{4t_2} \right)$.