Warum müssen Trägheitsmasse und schwere Masse gleich sein, nicht nur proportional?

Ich würde sagen, Sie haben große Bedenken hinsichtlich des Äquivalenzprinzips: Sie haben gründlich darüber nachgedacht. Und was Sie sagen, ist absolut richtig: Die Unabhängigkeit der Bewegung eines wechselwirkungsfreien Massenpunktes in der Raumzeit ist unabhängig von seiner Masse (in der kleinen Massengrenze[1]) ist die Essenz des Äquivalenzprinzips und zu seiner Erfüllung es wird nur die Trägheitsmasse benötigt$m_i$sollte proportional zur "Gravitationskopplung" sein$m_g$. Mit einer Skalierungskonstante von Nichteinheit erhalten Sie immer noch dieselben Äquivalenzklassen von Trägheitsbewegungszuständen , die durch kein Experiment vollständig innerhalb eines der Trägheitsrahmen voneinander unterschieden werden können, wie in Galileos Allegorie von Salviatis Schiff beschrieben : allgemeine Relativitätstheorie beschreibt für uns einfach die Äquivalenzklassen von „Saliviati-Schiffs“-Bewegungen und ihre relativ beschleunigten Nebenmengen (im Sinne bestimmter Beschleunigungsmesser-Messwerte) bei gegebener Spannungs-Energie-Verteilung und Randbedingungen. Keine dieser Schlussfolgerungen ändert sich, wenn Sie eine Skalierungskonstante dazwischen hinzufügen$m_i$Und$m_g$. Da wir das Äquivalenzprinzip für wahr halten, entscheiden wir uns einfach dafür , unser Einheitensystem so einfach wie möglich zu gestalten, indem wir die Skalierungskonstante auf Eins setzen.

[1]: dh damit sein eigener Beitrag zum Spannungs-Energie-Tensor als vernachlässigbar angenommen werden kann, so dass seine Anwesenheit die Raumzeit-Geometrie nicht verändert.

Frage von OP

Warum höre ich dann so oft, dass Leute schlussfolgern, dass, weil alle Materie auf die Krümmung der Raumzeit gleich reagiert (dh gleiche Beschleunigung),$m_i=m_g$?

Weil es eine Hypothese ist;$m_i=m_g$ist eine ausreichende Bedingung, aber sie ist stärker als nötig, um zu erklären, dass "der Effekt der Schwerkraft unabhängig von der Zusammensetzung ist". Oft werden in der Physik Hypothesen aufgestellt, die stärker sind als zur Erklärung experimenteller Ergebnisse eigentlich nötig, meist aus Gründen der Einfachheit oder des sogenannten "Occam's Razor". Die Allgemeine Relativitätstheorie ist das klassische Beispiel: Sie erklärt Galileos Experiment perfekt und beseitigt die seltsame „Verschwörung“ einer Gravitationskraft, die kompliziert oder „intelligent“ genug ist, um herauszufinden, was die träge Masse ist$m_i$eines Körpers ist und mit einer Kraft proportional zu beschleunigen$m_i$. Aber es ist nur eine mögliche Erklärung: Wir (oder Einstein) haben es wegen seiner erstaunlichen Einfachheit gewählt, nicht wegen seiner Einzigartigkeit. Es reduziert die Gravitationstheorie auf eine kleine Ansammlung von Axiomen: (1) Raumzeit ist eine metrische Mannigfaltigkeit, (2) ein Körper, der keine Wechselwirkung spürt, folgt der Geodätischen in dieser Mannigfaltigkeit und (3) die Einstein-Feldgleichungen und relevanten Randbedingungen definieren die Metrik die sich aus Materieverteilungen ergibt. Misner, Thorne und Wheeler machen in ihrem Buch „Gravitation“ dasselbe (oder besser gesagt, sie replizieren Élie Cartans Behandlung) für die Newtonsche Gravitation, dh sie zeigen, wie man die Newtonsche Gravitation als eine lokale, geometrische Theorie beschreibt, und es wird ungeheuer kompliziert im Vergleich zur GTR in diese Form.

Sobald Sie jedoch die geometrische Hypothese gewählt haben – dass die Schwerkraft keine Kraft und die Bewegung des freien Falls eine Trägheitsbewegung ist – dann ist die Einheitskonstante tatsächlich wie folgt festgelegt. Einerseits gibt es keine Interaktion zwischen einem Beobachter im freien Fall und irgendetwas anderem; es fühlt sich überhaupt keine Kraft an. Daher hat der Begriff einer "Kopplungskonstante" an das Gravitationsfeld keine Bedeutung und es gibt so etwas nicht$m_g$. Aber nehmen wir an, wir haben eine Ansammlung von Objekten, die auf der Oberfläche eines Planeten "ruhen", sagen wir, die Erde sei konkret. Dann wird jeder durch die relevante Festkörperphysik (bestimmte Arten von Dingen können andere Arten von Dingen nicht passieren) gezwungen, relativ zum lokalen frei fallenden Rahmen mit der gleichen Geschwindigkeit zu beschleunigen. Fragen Sie nun: "Welche Kraft auf jedes dieser Objekte ist vom Boden aus erforderlich, um sie so zu beschleunigen?". Nach Newtons zweitem Gesetz ist es so$m_i\,g$. Beachten Sie, wie der Begriff von$m_g$kommt gar nicht in die diskussion. Die Situation ist völlig analog zu der Situation, in der Sie einen Haufen verschiedener Massenkisten mit Dingen auf den Rücksitz Ihres Autos stellen und dann beim Beschleunigen beschleunigen$g$. Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz schließen Sie, dass jedes Objekt durch die Rückbank mit einer Kraft nach vorne geschoben werden muss$m_i\,g$.