Warum müssen wir die Form der Rutsche kennen, um die Zeit zu finden, um sie hinunterzurutschen?

Nur der Vollständigkeit halber erkläre ich, wie man die für eine beliebige Kurve benötigte Zeit erhält.

Wenn$h$ist die Anfangsgröße des Kindes und$y$die Höhe, sobald er begonnen hat zu fallen. Durch Energieeinsparung:

Die in einem sehr kleinen Zeitintervall zurückgelegte Strecke kann geschrieben werden als:

Die Geschwindigkeit ist also:

Einsetzen dieser Gleichung in$(1)$und Integration führt zu:

Dieses Integral gibt Ihnen die Zeit an, die benötigt wird, um den Boden bei einer beliebigen Kurve zu erreichen$y(x)$.

Darüber hinaus ist es möglich, eine solche Kurve, die Tautochrone , zu erhalten, bei der die benötigte Zeit unabhängig vom Ausgangspunkt ist:

Bildquelle

Die Form der Rutsche bestimmt definitiv, wie lange es dauert, sie hinunterzufahren. Überlegen Sie, ob die Rutsche vollständig vertikal war. Nun, ein gewisser berühmter [kürzlich verstorbener :( ] Komiker hatte die scharfsinnige Beobachtungsgabe, um darauf hinzuweisen, dass dies tatsächlich ein Tropfen und keine Rutsche sein würde. Trotzdem würden Sie schnell den Grund erreichen. Stellen Sie sich nun vor, die Rutsche wäre es wie bei einer Achterbahn, es ging runter, dann wieder hoch, dann wieder runter usw. und kam erst ganz am Ende auf den Boden.Diese Auf- und Abbewegung ist rein bedingt durch die Form der Rutsche und muss zwangsläufig länger dauern als einfach nur zu fahren Sie sehen also, wie lange es dauert, die Rutsche zu überqueren, hängt stark von der Form der Rutsche ab

Warum sagt der Autor, dass wir die Form der Rutsche kennen müssten, um die Zeit zu finden, die das Kind braucht, um den Boden der Rutsche zu erreichen?

Wie Sie festgestellt haben, hängt die Geschwindigkeit beim Herunterfahren einer reibungslosen Rutsche nur von der vertikalen Distanz ab. Diese Geschwindigkeit ist nicht die vertikale Komponente der Geschwindigkeit. Es ist die Größe der Geschwindigkeit. Auf einer geneigten Rutsche ist die vertikale Geschwindigkeitskomponente geringer.

Um die Geometrie so einfach wie möglich zu gestalten, werde ich geneigte Rampen betrachten (keine Unebenheiten, keine Kurven; nur eine Rampe in einem bestimmten Winkel, der in Bezug auf die Horizontale geneigt ist). Um die Zahlen einfacher zu halten, verwende ich g = 10 m/s ² statt 9,80665 m/s ² . Angenommen, die Rutsche hat einen Höhenunterschied von 5 Metern. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit am Boden der Rutsche 10 m/s beträgt. Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist halb so hoch, 5 m/s.

Lassen Sie uns nun Folien unterschiedlicher Länge anbringen. Eine 5 Meter lange Rutsche bedeutet, dass Sie eher fallen als rutschen. Es dauert eine Sekunde, um 5 Meter in die Tiefe zu fallen. Was wäre, wenn wir eine zehn Meter lange Rutsche verwenden würden (dh in einem Winkel von 30 Grad zur Horizontalen geneigt). Die Geschwindigkeit hat sich nicht geändert, aber die Distanz hat sich verdoppelt. Es dauert zwei Sekunden, um diese Rutsche herunterzurutschen; doppelt so lang wie der Höhenunterschied. Verwenden Sie eine noch längere Rutsche, aber immer noch einen Höhenunterschied von 5 Metern, und es dauert noch länger, bis Sie den Grund erreichen. Bei einer 50 Meter langen Rutsche (5,74 Grad in Bezug auf die Horizontale) dauert es zehn Sekunden oder zehnmal so lange, bis sie unten sind, verglichen mit dem vertikalen Fall.

Im Allgemeinen ist die Zeit, die benötigt wird, um den Boden einer reibungslos geneigten Rampe zu erreichen, gegeben durch$t_\text{slide}=\frac l h t_\text{vert}$, wo$l$ist die Länge der Rampe,$h$ist der vertikale Abfall, und$t_\text{vert}$ist die Zeit, die benötigt wird, um dieselbe vertikale Distanz zu fallen.

In Ihrer Arbeit sind Sie davon ausgegangen$a=g$- Dies gilt, wenn die Folie vertikal ist.

Folien haben einen gewissen Winkel,$\theta$(z.B$45^\circ$), was bedeutet, dass die Beschleunigung,$a$wird von gegeben

Beachten Sie, dass$a$wird kleiner sein als$g$weil der Wert der$sin$Begriff wird zwischen sein$0$und$1$. (außer im Fall einer vertikalen Rutsche$\theta=90^\circ$und$sin \theta=1$Also$a=g$).

Aber wir sind noch nicht fertig, weil die meisten Rutschen horizontal enden und es eine Kurve in der Rutsche am unteren Rand geben wird.

Zusätzlich zu den vorhandenen Antworten ist es erwähnenswert, dass die Tatsache, dass ein Rutschen etwas verlangsamt, das nach unten rutscht, Galileo tatsächlich bestätigt hat, dass Objekte unabhängig von ihrer Masse mit der gleichen Geschwindigkeit fallen. Sie einfach fallen zu lassen, funktioniert nicht gut, weil die Dinge zu schnell mit der Zeit verfallen, zumindest mit der Renaissance-Technologie. Also baute er abgewinkelte Rutschen, die das Herunterfallen verlangsamen würden, sodass er besser messen konnte, wie lange es dauerte, bis die Dinge herunterfielen.

Stellen Sie sich auch vor, wenn die Dinge nicht so funktionieren würden. Wir könnten sehr effiziente Reisesysteme bauen, indem wir sehr leicht geneigte Oberflächen bauen: Sagen wir, dass es an einem Ende zehn Fuß hoch ist und zwanzig Meilen entfernt und fünf Fuß hoch endet. Dann könnten Sie zwanzig Meilen in der gleichen Zeit zurücklegen, in der Sie fünf Fuß fallen würden.

Das Gleiten stellt eine normale Kraft für das Kind bereit. Dies verändert die Beschleunigung des Kindes an verschiedenen Stellen der Rutsche und wirkt sich somit auf die Zeit aus, die es braucht, um den Boden zu erreichen. Das Kind fällt nicht mehr frei unter konstanter gleichmäßiger Beschleunigung, sondern folgt den Unebenheiten. Wenn die Rutsche eine ausreichend komplizierte Form hat, wäre es aufgrund dieser variablen Nettobeschleunigung schwierig, die Zeit zu ermitteln, die zum Erreichen des Bodens benötigt wird.

Sie kennen die Endgeschwindigkeit und Sie wissen auch (aufgrund der Erhaltung der kinetischen + Gravitationspotentialenergie), dass dies die maximale Geschwindigkeit ist (zumindest vorausgesetzt, die Rutsche bleibt über dem Boden). Nennen Sie diese Höchstgeschwindigkeit$v$.

Für jede Zeit$t$, betrachten Sie a (gerade, flach für groß$t$) Folie mit einer Länge größer als$vt$. Nach dem Mittelwertsatz oder einfach nach gesundem Menschenverstand können Sie keine größere Entfernung als zurücklegen$vt$rechtzeitig$t$ohne irgendwann die Geschwindigkeit zu überschreiten$v$. Diese spezielle Folie dauert also etwas länger als$t$Reisen.

Die Zeit, die benötigt wird, um die Rutsche hinunterzufahren, ist also nicht nur abhängig von der Form der Rutsche variabel, sie ist nicht einmal nach oben begrenzt.

Der Fehler in Ihrer Arbeitsweise ist zu nehmen$a = 9.8$. Dies gilt beim Fallen, aber nicht beim Herunterrutschen einer anderen Form als einer senkrechten Klippe.