Warum multipliziert man mit −j−jj und nicht mit jjj, wenn man die Impedanz einer RC-Schaltung ermittelt?

Ich verstehe das Konzept, dass die Spannung in einem Kondensator hinter dem Strom zurückbleibt, weshalb wir imaginäre Zahlen verwenden müssen, um die Impedanz einer einfachen Reihen-RC-Schaltung wie folgt zu finden:

Schaltung der RC-Serie
(Quelle: electronic-tutorials.ws )

Was das folgende Vektordiagramm ergibt:

Vektordiagramm der RC-Schaltung

Was ich allerdings nicht verstehe ist, warum man mit multiplizieren muss − J und nicht J bei der Berechnung der kapazitiven Reaktanz. Basierend auf meinem begrenzten Verständnis der komplexen Ebene und Rotation, Multiplikation mit J würde die Reaktanz um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehen und sie mit dem regulären Widerstand in Phase bringen. Warum ist dies nicht der Fall?

Die Drehung im mathematischen Standardkreis erfolgt gegen den Uhrzeigersinn, nicht im Uhrzeigersinn. Der Grund ist willkürlich, aber wahrscheinlich, weil das Drehen von a +x um 90 Grad zu a +y sinnvoller war als die andere Wahl. Aufgrund der Art und Weise, wie Euler's funktioniert, e ich θ = cos ⁡ ( θ ) + ich Sünde ⁡ ( θ ) , der Rest fällt dir einfach raus. Siehe Verwendung der komplexen Impedanz . Außerdem wird (1,0) zu (cos θ, sin θ), wenn gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. Komfortabel.
Hallo Jeppe. Ich denke aufrichtig, dass Sie wahrscheinlich "Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena", 3. Auflage, von Charles Proteus Steinmetz (und Ernst J. Berg), 1900, lesen sollten. Kapitel IV behandelt den grafischen (und intuitiveren) Ansatz. Dann geht es weiter zu WARUM die algebraische Methode, nach der Sie fragen und die in Kapitel V behandelt wird, ausgewählt wurde, um die grafischen Methoden zu ersetzen. Die grafischen Details werden auf dem Papier sehr schnell "ziemlich beschäftigt". Wenn Sie jedoch den algebraischen Ansatz lernen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie Fehler machen, viel geringer. Aber die Grafik ist viel intuitiver.

Antworten (3)

Basierend auf meinem begrenzten Verständnis der komplexen Ebene und Rotation, Multiplikation mit J würde die Reaktanz um 90 Grad im Uhrzeigersinn drehen

Das ist falsch. Beim Messen von Winkeln ist ein positiver Winkel gegen den Uhrzeigersinn, nicht im Uhrzeigersinn. Dies ist auch in der grundlegenden Trigonometrie/Geometrie der Fall.

In einer RL-Schaltung würden Sie mit multiplizieren J .

Entschuldigung, das war ein Tippfehler. Ich habe den Beitrag mit der Korrektur editiert. Warum dreht die Multiplikation mit j bei dieser Korrektur die Reaktanz jedoch nicht gegen den Uhrzeigersinn und bringt sie mit dem Widerstand in Phase? Wenn Sie mit -j multiplizieren, bringt das die Reaktanz nicht einfach um 180 Grad phasenverschoben?
Der Widerstand hat keine komplexe (reaktive) Komponente. Kein Betrag der Multiplikation einer reellen Zahl mit j ergibt eine reelle Zahl. Die reaktive Komponente befindet sich IMMER auf der „j“-Achse

Multipliziert man eine reelle Variable mit J es würde in der Ebene auf der imaginären Achse liegen. also mit multiplizieren J dreht es gegen den Uhrzeigersinn, − J dreht ihn im Uhrzeigersinn.

Warum es ist − J durch den Kondensator liegt daran

Z C = 1 J ω C
mit multiplizieren
J J
erzeugt ein − J im Zähler. Z ist die sogenannte Impedanz (AC-Widerstand) einer Komponente die anderen sind
Z L = J ω L
Und
Z R = R
Ihre Gesamtimpedanz ist also
Z = R − J ω C

Sie können die Impedanz mit der Laplace-Transformation berechnen, wie ich es in meinem Bild gemacht habe:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Konventionen für imaginäre Zahlen sind willkürlich. Die Konventionen sind so gewählt, dass das Auftreten eines Sinussignals (Spannung oder Stromstärke) mit früherer Phase positiven Winkeln für den komplexen Amplitudenvektor entspricht.

Jetzt hat ein Kondensator einen Spannungsabfallstrom, sodass die Impedanz (Spannung geteilt durch Strom) negativ imaginär ist. Eine Induktivität hat eine dem Strom vorausgehende Spannung, daher ist die Impedanz positiv imaginär.

Man könnte die Konventionen in die andere Richtung ändern, ohne dass sich die Ergebnisse ändern, sobald Sie die komplexe Größe in reale Amplitude und Phase umwandeln.

Was meinst du mit "die Konventionen andersherum ändern"? Das Vorzeichen von j stellt die reale Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom dar ... die nicht willkürlich gewählt werden kann.
Warum multipliziert man mit −j−jj und nicht mit jjj, wenn man die Impedanz einer RC-Schaltung ermittelt?
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