Warum muss der Einstein-Tensor GGG im Riemann-Krümmungstensor linear sein?

In dem klassischen Buch von Misner, Wheeler und Thorne rechtfertigen sie die Form des Einstein-Tensors, G , durch die Tatsache, dass es der eindeutige Tensor ist, der erfüllt

  1. G verschwindet, wenn die Raumzeit flach ist
  2. G ist nur eine Funktion des Riemannschen Krümmungstensors und der Metrik
  3. G im Riemannschen Krümmungstensor linear ist
  4. G ist ein symmetrischer und ein Tensor zweiter Ordnung
  5. G hat verschwindende Divergenz.

Punkt 1 ergibt sich aus der Tatsache, dass, wenn wir die Gravitation mit der geodätischen Abweichung durch die Raumzeitkrümmung gleichsetzen, das Fehlen einer Raumzeitkrümmung keine Gravitation bedeuten sollte. Punkt 2 besagt im Grunde, dass die Gravitation nur auf geodätische Abweichungen zurückzuführen ist. Punkt 4 liegt im Grunde daran, dass die Krümmung eine Zwei-Form ist (oder weil wir wollen, dass der Spannungs-Energie-Tensor eine Quelle der Raumzeitkrümmung ist, die ein Tensor des zweiten Ranges ist) und Punkt 5 ist auf die (lokale) Energie-Impuls-Erhaltung zurückzuführen .

Ich verstehe aber nicht, warum wir Punkt 3 brauchen. Möglicherweise gibt es auf Quantenebene Korrekturen, die im Riemann-Krümmungstensor nichtlinear sind, aber warum fordern wir auf klassischer Ebene Linearität im Riemann-Krümmungstensor?

Ah ich sehe. Würden Sie akzeptieren „weil R μ v hat Abmessungen von M − 2 und wir haben in GR keine feste Längenskala"?
@SolenodonParadoxus. Interessant. Können Sie erklären, warum das zu der Linearität führen würde? Könnte es sein, dass Sie möchten, dass die Krümmung linear proportional zum Energiespannungstensor (Inhalt) ist?
@BobBee meine Logik ist folgende. Stell dir das vor G beinhaltet beides ∼ R a Und ∼ R β Bedingungen. Dann müssten wir kompensieren M β − a fehlende Längenmaße, aber wir haben keine Maßkonstante zur Verfügung.
@SolenodonParadoxus Ich neige dazu, Argumente für die Dimensionsanalyse als sehr handgewellt und nicht sehr streng zu empfinden. Warum können wir nicht einfach dimensionsreichere Konstanten einführen? Ich hatte gehofft, es würde ein Argument geben, das auf Symmetrie basiert.
@thedoctar Ich stimme voll und ganz zu, aber andererseits sollten Sie etwas Handgewelltes erwarten, um (a priori) eine Behauptung wie diese zu unterstützen. Mir sind keine symmetriebasierten Argumente bekannt, die diese Behauptung stützen.
@SolenodonParadoxus Ich bin mir nicht sicher, warum ich ein handgewelltes Argument erwarten sollte. Vielleicht gibt es eine physikalische Begründung. Oder es gibt sie vielleicht nicht. Vielleicht hat es etwas damit zu tun, dass die Schwerkraft eine Eichtheorie ist?
Lovelace hat gezeigt, dass es der einzige divergenzfreie Tensor mit zwei Rängen ist, der von Ableitungen des metrischen Tensors nicht höher als der zweite abhängt. Es ist natürlich auch in zweiten Ableitungen des metrischen Tensors linear, was zu einer Linearität in der Krümmung führt. Einstein-Cartan, mit Torsion, ich bin mir nicht sicher, ob es auch linear ist (sollte leicht zu finden sein), aber es und reines Einstein sind die einzigen Möglichkeiten, wenn man die Einstein-Lagrangian verwendet (und mit Cartan Torsion zulässt). Beantwortet die Frage immer noch nicht, aber 3 führt im Grunde auch dann zu 10 pseudolinearen Gleichungsgleichungen für 4 Dimensionen
@BobBee Würde ich richtig sagen, wenn wir Bedingung 3 entfernen würden , wäre unser Einstein-Tensor in Bezug auf den Riemann-Krümmungstensor linear?
klingt so, wenn Lovelace recht hat. Ich habe den Beweis nicht gesehen, es wäre gut, eine Referenz in einem anderen Buch zu finden. Ich habe das im Wiki auf dem Ricci-Tensor gesehen.
Obwohl das Argument der Dimensionsanalyse sehr interessant ist, kommt der Grund, warum G in R linear sein muss, aus der klassischen Mechanik. In der klassischen Mechanik lernen wir, dass die dynamischen Gleichungen nicht mehr als zwei zeitliche Ableitungen haben können, wenn wir Kausalität verlangen. Da R solche Terme bereits enthält, würde eine höhere Potenz von R zu einer zufälligen Dynamik führen.
@CGH Könnten Sie eine Referenz angeben? Ist der Kontext Ihrer Aussage rein feldtheoretisch? Ich verstehe nicht, wie eine Gleichung wie a = v ^ 3 akausal ist.
@thedoctar Das ist reine PDE! Unter web.math.ucsb.edu/~grigoryan/124A.pdf finden Sie eine Diskussion über die Kausalität der ebenen Welle. Sie sollten auch die Diskussionen hier physical.stackexchange.com/q/4102 überprüfen . Das einzige spezifische Beispiel, das ich jetzt geben kann, ist die Abraham-Lorentz-Kraft, bei der ein Teilchen beschleunigt wird, bevor es wechselwirkt. Ich werde nach einer allgemeineren Referenz suchen.
@CGH Bitte verwenden Sie keine Kommentare, um Fragen zu beantworten, sondern schreiben Sie stattdessen eine Antwort.
@CGH Haben Sie einen Beweis oder ein Beispiel dafür, wie höhere Zeitableitungen die Kausalität brechen?
@thedoctar Ich habe keinen Beweis, aber Beispiele. Siehe meine Antwort für einen Link, der solche Probleme diskutiert.

Antworten (1)

Theorien mit mehr als zwei Ableitungen werden immer mit großer Sorgfalt behandelt. Kausalität und Einheitlichkeit könnten gebrochen werden. Es könnten Geister auftreten (was tatsächlich bedeutet, dass weniger Freiheitsgrade als erwartet vorhanden sind). Störende Freiheitsgrade können sich von der Hamiltonschen (nicht störenden) Analyse unterscheiden. Unter anderem.

Die Abraham-Lorentz-Kraft ist ein kanonisches Beispiel für ein solches Verhalten auf klassischer Ebene. Diese Kraft ist proportional zur Ableitung der Beschleunigung, F R A D = μ 0 Q 2 6 π C X ⃛ . Das Problem bei dieser Kraft besteht darin, dass ein Teilchen beschleunigt wird, bevor die Kraft aufgebracht wird.

Wenn Sie die Schwerkraft konstruieren, möchten Sie sie vielleicht an Materie koppeln. Wenn Sie eine flache Metrik haben, würden Sie erwarten, die klassische Elektrodynamik wiederherzustellen. Wenn Sie außerdem nach Kausalität fragen, erwarten Sie keine Ableitungen dritter Ordnung in der Bewegungsgleichung, da Sie die Abraham-Lorentz-Kraft vermeiden wollen. Wenn Sie den Einstein EOM um eine flache Metrik herum linearisieren, möchten Sie nicht, dass diese Aktion die Quelle solcher Kräfte ist. Daher müssen die Einstein-Gleichungen höchstens Ableitungen zweiter Ordnung enthalten.

Dies ist der Grund, warum Sie fordern, dass " G im Riemann-Krümmungstensor linear ist ".

Höhere Krümmungskorrekturen vermeidet man natürlich nicht als wären sie die Pest. Stringtheoretische Korrekturen der Einstein-Gleichung enthalten tatsächlich solche Terme. Der Umgang mit ihnen ist nach wie vor ein aktives Forschungsgebiet.

Eine alte Übersicht über höhere Ableitungstheorien finden Sie hier .

Die Abraham-Lorentz-Kraft ist in Wikipedia gut erklärt .

Warum muss der Einstein-Tensor GGG im Riemann-Krümmungstensor linear sein?
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