Warum nehmen die Orbitalgeschwindigkeiten weiter weg vom Fokus ab?

"Fokus" ist ein unbequemes Wort, wenn Sie daran denken, das Potential zu ändern, denn wenn Sie dies tun, sind die Umlaufbahnen keine Kegelschnitte mehr und das Wort verliert irgendwie seine Bedeutung. Abgesehen davon, lassen Sie mich sehen, ob ich Ihre Frage richtig verstanden habe:

Gegeben sei ein Gravitationspotential, das kugelsymmetrisch um einen zentralen Punkt ist$\mathbf{r}_0$, und die ein Gravitationspotential hat$V(|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|)$, was ist der grundlegende Grund dafür, dass die Umlaufgeschwindigkeit abnimmt$|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|$erhöht sich? Liegt das daran, dass das Gravitationsfeld bei größeren Entfernungen schwächer wird?

In diesem Fall lautet die Antwort, dass die Umlaufgeschwindigkeiten abnehmen, weil$V$selbst nimmt bei größeren Entfernungen zu. Das ist einfach Energieerhaltung:

$$\frac12m\mathbf{v}^2+mV(|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|)=E,$$ und wenn $V$wird dann weniger negativ $v^2$muss kleiner sein. Daher müssen Potentiale, in denen dies nicht geschieht, Regionen haben, in denen das Potential vom Ursprung abstoßend ist. Ein solches Beispiel ist $$V(r)=-\frac1r -r,$$ obwohl es natürlich kein physikalisches System mit diesem Verhalten gibt.

Die Geschwindigkeit einer Umlaufbahn um ein zentrales Objekt kann leicht für eine kreisförmige Umlaufbahn berechnet werden. Nehmen wir an, dass es eine zentrale Kraft gibt$F=c\cdot r^\alpha$, Wo$c$Und$\alpha$sind einige Konstanten (für die Schwerkraft$c=Gm_1m_2$Und$\alpha=-2$).

Für eine stabile Umlaufbahn muss diese Zentralkraft gleich der notwendigen Zentripetalkraft sein ( nicht die eigentlich nicht vorhandene Zentrifugalkraft ausgleichen). Diese Zentripetalkraft ist gegeben durch$F_{\rm Z}=\frac{mv^2}{r}$.

Jetzt durch einfaches Kombinieren der beiden Kräfte und Auflösen nach$v$wir erhalten

$$v=\sqrt{\tfrac c m\,r^{\alpha+1}}\,.$$

Wir sehen das für$\alpha<-1$, die Umlaufgeschwindigkeit nimmt mit der Entfernung ab. Bei konstanter Kraft nimmt die Umlaufgeschwindigkeit tatsächlich zu. Die Geschwindigkeit würde bei einer Kraft proportional zu konstant bleiben$r^{-1}$.

Die Umlaufgeschwindigkeit nimmt zu, wenn die Umlaufgeschwindigkeit abnimmt, da die potenzielle Gravitationsenergie abnimmt, wenn der Umlaufradius abnimmt. Daher wirkt das Gravitationsfeld auf die Masse, um ihre Geschwindigkeit zu erhöhen. Es wäre ein Verstoß gegen den Energieerhaltungssatz, wenn die Geschwindigkeit der umlaufenden Massen nicht zunehmen würde. Änderung von GPE = Änderung von KE

Im Wesentlichen fallen alle umlaufenden Objekte auf den gravitationsdominanten Hauptkörper, aber in einer stabilen Umlaufbahn bleibt die Geschwindigkeit konstant, da der Umlaufradius (unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn und eines symmetrischen Gravitationsfelds) konstant ist, sodass keine Arbeit geleistet wird. Wenn der Orbitalradius der umkreisenden Masse abnimmt, fällt er weiter in Richtung des gravitationsdominierenden Körpers, aber die umkreisende Masse nähert sich dem Planeten, so dass sie jetzt an Geschwindigkeit gewonnen hat. Es ist derselbe Mechanismus, mit dem ein Ball, der ursprünglich stationär war, beim Fallen an Geschwindigkeit gewinnt, wenn an ihm gearbeitet wird. Dies ist auch der Grund, warum Kometen auf stark elliptischen Umlaufbahnen am Perihel (dem geringsten Abstand zur Sonne) eine erhebliche Umlaufgeschwindigkeit erreichen.