Warum nennen wir nicht −a+bi−a+bi-a+bi in Relation zu a+bia+bia+bi?

Komplexe Konjugate sind wichtig, weil$i$Und$-i$per Definition grundsätzlich nicht unterscheidbar sind;$i$ist definiert als eine Zahl, die die Gleichung erfüllt$i^2 = -1$, aber natürlich$-i$muss dieselbe Gleichung erfüllen. Also muss "jede Tatsache", die über komplexe Zahlen gesagt werden kann, wahr bleiben, wenn wir alle Vorkommen von vertauschen$i$mit$-i$(obwohl man bei "versteckten" Vorkommnissen aufpassen muss). Die komplexe Konjugation ist daher eine Abbildung komplexer Zahlen, die viele algebraische Eigenschaften bewahrt.

Im Gegensatz dazu bewahrt die komplexe Antikonjugation, wie sie in Ihrer Frage definiert ist, keine nützlichen Eigenschaften, weil$1$Und$-1$sind nicht grundsätzlich ununterscheidbar;$-1$ist kein Nachfolger der Nummer$0$, es ist keine multiplikative Identität, so dass$1x \equiv x$, und erfüllt auch keine andere vernünftige Definition der Zahl$1$.

In der Mathematik gibt es eine Tradition, Redundanzen zu vermeiden (oder zumindest zu minimieren).

In diesem Fall komplexe Konjugation$\,\overline{a+ib}=a-ib\,$ist seit langem bekannt und wird verwendet. Es hat viele Anwendungen, von Polynomgleichungen bis zu Analysis, abstrakter Algebra, Geometrie usw.

Im Gegensatz dazu schreiben wir das vorgeschlagene „ anti-konjugieren “, sagen wir es so$\,\widetilde{a+ib}=-a+ib\,$, wäre ein neues Konzept ohne offensichtlichen Vorteil – konzeptionell oder praktisch. Darüber hinaus kann es leicht in Form des Konjugats als ausgedrückt werden$\,\widetilde{a+ib}=-\,\overline{a+ib}=\overline{i\cdot\overline{i \cdot(a+ib)}}\,$. Somit überflüssig.

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[ BEARBEITEN ]$\;$Nebeneinander Zusammenfassung.

$$\begin{matrix} & & & \small{\text{conjugate}}\;\overline{\,z\,} & & & \small{\text{anti-conjugate}}\; \widetilde{\,z\,} \\ \small{\text{symmetry}} & & & \small{\text{over real axis}} & & & \small{\text{over imaginary axis}} \\ \small{\text{involution}} & & \small{\text{yes:}} & \overline{\overline{\,z\,}} = z & & \small{\text{yes:}} & \widetilde{\widetilde{\,z\,}} = z \\ \small{\text{distrib over +}} & & \small{\text{yes:}} & \overline{\,z_1+z_2\,} = \overline{\,z_1\,}+\overline{\,z_2\,} & & \small{\text{yes:}} & \widetilde{\,z_1+z_2\,} = \widetilde{\,z_1\,}+\overline{\,z_2\,} \\ \small{\text{distrib over }\times} & & \small{\text{yes:}} & \overline{\,z_1\,\cdot\,z_2\,} = \overline{\,z_1\,}\,\cdot\,\overline{\,z_2\,} & & \color{red}{\small{\text{no:}}} & \widetilde{\,z_1\,\cdot\,z_2\,} \ne \widetilde{\,z_1\,}\,\cdot\,\widetilde{\,z_2\,} \end{matrix}$$