Finden Sie den Ort aus dem Arg eines Verhältnisses zweier komplexer Zahlen

Welchen Ort gibt die folgende Gleichung an?

Arg ⁡ ( z + 1 z − 1 ) = π 2

ich weiß, dass

Arg ⁡ ( z 1 z 2 ) = Arg ⁡ ( z 1 ) − Arg ⁡ ( z 2 )

und dass die Orte von -1 und +1 auf der reellen Achse ausgehen müssen. Der π / 2 schlagen Sie mir auch vor, dass es eine gibt 90 ∘ Winkel bei der Arbeit, aber ich weiß nicht, wie ich von dort aus weiter vorgehen soll. Eine sachlichere Erklärung wäre also sehr willkommen!

Antworten (2)

Es ist reine High-School-Geometrie: Es ist äquivalent zu

Arg ⁡ ( z + 1 ) ≡ Arg ' ⁡ z − 1 ) + π 2 ( Mod 2 π ) ,
es ist also der untere Halbkreis mit Durchmesser [ − 1 , 1 ] .

Danke, ja du hast recht. Das ist Oberstufenmathematik. Das ist das Niveau, auf dem ich bin.

Algebraische Alternative: Beachten Sie zuerst das Arg ⁡ w = π 2 iff Betreff ⁡ w = 0 Und Ich bin ⁡ w > 0 . Dann:

  • 0 = 2 Betreff ⁡ z + 1 z − 1 = z + 1 z − 1 + z ¯ + 1 z ¯ − 1 = z z ¯ − z + z ¯ − 1 + z z ¯ − z ¯ + z − 1 | z − 1 | 2 = 2 ( | z | 2 − 1 ) | z − 1 | 2 ⟹ | z | 2 = 1

  • 0 < 2 Ich bin ⁡ z + 1 z − 1 = 1 ich ( z + 1 z − 1 − z ¯ + 1 z ¯ − 1 ) = 1 ich − 2 ( z − z ¯ ) | z − 1 | 2 = − 4 Ich bin ⁡ z | z − 1 | 2 ⟹ Ich bin ⁡ z < 0

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