Wie soll ich mir die komplex-exponentielle Form von Sinuswellen vorstellen?

Angenommen, es gibt eine Sinuswelle mit Amplitude$A$, Frequenz$\omega$, und Phasenverschiebung$\psi$, dann ist eine Möglichkeit, es zu schreiben$A cos(\omega t - \psi)$. Es kann aber auch so geschrieben werden$Re(Ae^{i(\omega t - \psi)})$, und die Verwendung dieser komplex-exponentiellen Form scheint in der Technik, Physik und überall dort mit Fourier / Laplace-Transformationen üblich zu sein.

Ich verstehe, warum der Realteil der obigen Form ein Kosinus aus Eulers Formel ist$e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$, und ich verstehe die geometrische Intuition komplexer Zahlen als Punkte auf einer Ebene.

Welche Informationen verlieren wir jedoch, wenn wir den Imaginärteil des Komplex-Exponential wegwerfen?$Im(Ae^{i(\omega t - \psi)}) = Asin(\omega t - \psi)$, das ist der Realteil etwas verschoben, also scheint es nichts zu sein. Aber es ist mir immer noch unangenehm, es zu benutzen$Ae^{i(\omega t - \psi)}$anstelle von$A cos(\omega t - \psi)$da ich nicht verstehe, warum hinzufügen$i sin(\omega t - \psi)$(um die rechte Seite von Euler zu bekommen) ist zunächst gerechtfertigt.

Wie stelle ich mir also die komplexe Exponentialform von Sinuswellen vor? Wenn jemand sagt: „Da ist eine Sinuswelle mit Amplitude$A$, Frequenz$\omega$, und Phasenverschiebung$\psi$", kann ich in meinen Berechnungen bedenkenlos die komplexe Form anstelle der Kosinusform verwenden und am Ende einfach den reellen Teil nehmen?