Beweisen Sie die Additionsform cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z_1+z_2) = cosz_1cosz_2 -sinz_1sinz_2

Question

Beweisen Sie die Additionsform cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z_1+z_2) = cosz_1cosz_2 -sinz_1sinz_2

Mathematik
Trigonometrie
komplexe Zahlen

Ju Grigori

Beweisen Sie die Additionsform $cos(z_1+z_2) = cosz_1cosz_2 -sinz_1sinz_2$

Ich habe es so versucht:

$cos(z_1+z_2) = \frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{-i(z_1+z_2)}}{2}$ .

\begin{aligned} C Ö S (z_{1} + z_{2}) = \frac{e^{- (j_{1} + j_{2})} [C Ö S (X_{1} + X_{2}) + ich S ich N (X_{1} + X_{2})] + e^{- (j_{1} + j_{2})} [C Ö S (- X_{1} - X_{2}) + ich S ich N (- X_{1} - X_{2})]}{2} \end{aligned}

$\begin{align} cos(z_1+z_2) = \frac{e^{-(y_1+y_2)}[cos(x_1+x_2)+isin(x_1+x_2)]+e^{-(y_1+y_2)}[cos(-x_1-x_2)+isin(-x_1-x_2)]}{2} \end{align}$

Wie $cosx$ ist sogar und $sinx$ seltsam, ich schreibe es so um:

\begin{aligned} C Ö S (z_{1} + z_{2}) = \frac{e^{- (j_{1} + j_{2})} [C Ö S (X_{1} + X_{2}) + ich S ich N (X_{1} + X_{2})] + e^{- (j_{1} + j_{2})} [C Ö S (X_{1} + X_{2}) - ich S ich N (X_{1} + X_{2})]}{2} \end{aligned}

$\begin{align} cos(z_1+z_2) = \frac{e^{-(y_1+y_2)}[cos(x_1+x_2)+isin(x_1+x_2)]+e^{-(y_1+y_2)}[cos(x_1+x_2)-isin(x_1+x_2)]}{2} \end{align}$

Aber es wird zu groß und so kompliziert, gibt es einen anderen Weg??

Jan

Etwas zum Nachdenken: tut

e^{i z} = \cos (z) + i \sin (z)

$e^{iz}=\cos(z)+i\sin(z)$ halte noch wann

z

$z$ ist nicht echt? Wenn ja, dann könntest du schreiben

\frac{e^{i (z_{1} + z_{2})} + e^{- i (z_{1} + z_{2})}}{2} = \frac{e^{i z_{1}} e^{i z_{2}} + e^{- i z_{1}} e^{- i z_{2}}}{2}

$\frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{-i(z_1+z_2)}}{2}=\frac{e^{iz_1} e^{iz_2} + e^{-i z_1} e^{-iz_2}}{2}$ und dann den Ersatz in Bezug auf Sinus und Cosinus vornehmen, was Sie auf die richtige Spur bringen würde.

Antworten (1)

Beweisen Sie die Additionsform cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z_1+z_2) = cosz_1cosz_2 -sinz_1sinz_2

Etwas zum Nachdenken: tut $e^{iz}=\cos(z)+i\sin(z)$ halte noch wann $z$ ist nicht echt? Wenn ja, dann könntest du schreiben $\frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{-i(z_1+z_2)}}{2}=\frac{e^{iz_1} e^{iz_2} + e^{-i z_1} e^{-iz_2}}{2}$ und dann den Ersatz in Bezug auf Sinus und Cosinus vornehmen, was Sie auf die richtige Spur bringen würde.

Jose Carlos Santos · Answer 1

Beachten Sie, dass

\begin{aligned} \cos (z_{1}) \cos (z_{2}) - Sünde (z_{1}) Sünde (z_{2}) & = \frac{e^{ich z_{1}} + e^{- ich z_{1}}}{2} \cdot \frac{e^{ich z_{2}} + e^{- ich z_{2}}}{2} - \frac{e^{ich z_{1}} - e^{- ich z_{1}}}{2 ich} \cdot \frac{e^{ich z_{2}} - e^{- ich z_{2}}}{2 ich} \\ = \frac{e^{ich (z_{1} + z_{2})} + e^{ich (z_{1} - z_{2})} + e^{ich (z_{2} - z_{1})} + e^{- ich (z_{1} + z_{2})}}{4} + \\ + \frac{e^{ich (z_{1} + z_{2})} - e^{ich (z_{1} - z_{2})} - e^{ich (z_{2} - z_{1})} + e^{- ich (z_{1} + z_{2})}}{4} \\ = \frac{e^{ich (z_{1} + z_{2})} + e^{- ich (z_{1} + z_{2})}}{2} \\ = \cos (z_{1} + z_{2}) . \end{aligned}

$\begin{align}\require{cancel}\cos(z_1)\cos(z_2)-\sin(z_1)\sin(z_2)&=\frac{e^{iz_1}+e^{-iz_1}}2\cdot\frac{e^{iz_2}+e^{-iz_2}}2-\frac{e^{iz_1}-e^{-iz_1}}{2i}\cdot\frac{e^{iz_2}-e^{-iz_2}}{2i}\\&=\frac{e^{i(z_1+z_2)}+\cancel{e^{i(z_1-z_2)}}+\bcancel{e^{i(z_2-z_1)}}+e^{-i(z_1+z_2)}}4+\\&{}\quad+\frac{e^{i(z_1+z_2)}-\cancel{e^{i(z_1-z_2)}}-\bcancel{e^{i(z_2-z_1)}}+e^{-i(z_1+z_2)}}4\\&=\frac{e^{i(z_1+z_2)}+e^{-i(z_1+z_2)}}2\\&=\cos(z_1+z_2).\end{align}$

Beweisen Sie die Additionsform cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2cos(z_1+z_2) = cosz_1cosz_2 -sinz_1sinz_2

Ju Grigori

Jan

Antworten (1)

Jose Carlos Santos

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