Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ zeige, dass } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{imaginär ist.}

Question

Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ zeige, dass } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{imaginär ist.}

Brüche
Mathematik
Trigonometrie
komplexe Zahlen

Meers E. Chahine

$\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ show that } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{is imaginary.}$

Das erste, was ich versuchte, war, sowohl oben als auch unten mit dem Konjugierten des Nenners zu multiplizieren ...

\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} - z_{2}} (\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} + z_{2}}) = \frac{z_{1}^{2} + 2 z_{1} z_{2} + z_{2}^{2}}{z_{1}^{2} - z_{2}^{2}}

$\frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \left( \frac{z_1 + z_2}{z_1+z_2} \right) \\ = \frac{z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2}{z_1^2-z_2^2}$

Dann ich $\text{Let }z_1,z_2 = x_1+iy_1,x_2+iy_2$ und erweitert ... aber dann war die Gleichung zu groß, um damit zu arbeiten. Was ich tun wollte, war, so viel wie möglich zu vereinfachen, wie ich es mit gemacht habe $\frac{1-z}{1+z}$ was gerade eben entsprach $\frac{-i\sin\theta}{1+\cos\theta}$ (natürlich nachdem sie in Mod-Arg-Form geschrieben wurden). Also, was soll ich von hier an tun? Vielen Dank im Voraus.

Halbklassisch

Ein anderer Ansatz wäre, den Realteil zu berechnen und zu zeigen, dass er verschwindet.

wadim123

Wenn

z_{1} = z_{2} = 1

$z_1=z_2=1$ , der Bruch ist nicht definiert, geschweige denn imaginär.

Andre Nicolas

Das Multiplizieren von oben und unten mit dem Konjugierten des Nenners klingt OK. Das Konjugat ist

\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}

$\overline{z_1}-\overline{z_2}$ , und nicht das, was du geschrieben hast.

Halbklassisch

@vadim123: Vermutlich der Wert von

\frac{z_{1} +_{2}}{z_{1} - z_{2}}

$\frac{z_1+_2}{z_1-z_2}$ geht in diesem Fall entlang der imaginären Achse ins Unendliche.

Meers E. Chahine

@AndréNicolas Danke! Ich habe versucht, den Bruch zu rationalisieren, ohne die komplexen Zahlen zu berücksichtigen, nochmals vielen Dank!

Andre Nicolas

Gern geschehen. Es ist nicht der effizienteste Weg, um das Problem zu lösen, aber es funktioniert.

Meers E. Chahine

@ vadim123 Ich weiß, aber das sagt die Frage nicht, es heißt, dass die Größe jeder komplexen Zahl gleich ist, zum Beispiel -1 + i und 1 - i haben die gleiche Größe / den gleichen Modul, also würde es doch definiert werden .

wadim123

@SamirChahine, die Frage ist falsch gestellt. Nehmen

z_{1} = z_{2} = 1 - i

$z_1=z_2=1-i$ und Sie erhalten wieder einen undefinierten Bruch.

Meers E. Chahine

Aber

z_{1}

$z_1$ Und

z_{2}

$z_2$ sind nicht gleich? Andernfalls wäre der Bruch undefiniert und unlösbar.@vadim123

Antworten (4)

Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ zeige, dass } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{imaginär ist.}

Ein anderer Ansatz wäre, den Realteil zu berechnen und zu zeigen, dass er verschwindet.
Wenn $z_1=z_2=1$ , der Bruch ist nicht definiert, geschweige denn imaginär.
Das Multiplizieren von oben und unten mit dem Konjugierten des Nenners klingt OK. Das Konjugat ist $\overline{z_1}-\overline{z_2}$ , und nicht das, was du geschrieben hast.
@vadim123: Vermutlich der Wert von $\frac{z_1+_2}{z_1-z_2}$ geht in diesem Fall entlang der imaginären Achse ins Unendliche.
@AndréNicolas Danke! Ich habe versucht, den Bruch zu rationalisieren, ohne die komplexen Zahlen zu berücksichtigen, nochmals vielen Dank!
Gern geschehen. Es ist nicht der effizienteste Weg, um das Problem zu lösen, aber es funktioniert.
@ vadim123 Ich weiß, aber das sagt die Frage nicht, es heißt, dass die Größe jeder komplexen Zahl gleich ist, zum Beispiel -1 + i und 1 - i haben die gleiche Größe / den gleichen Modul, also würde es doch definiert werden .
@SamirChahine, die Frage ist falsch gestellt. Nehmen $z_1=z_2=1-i$ und Sie erhalten wieder einen undefinierten Bruch.
Aber $z_1$ Und $z_2$ sind nicht gleich? Andernfalls wäre der Bruch undefiniert und unlösbar.@vadim123

polmath · Answer 1

Wie können Sie die Bedingung verwenden $| z_1 | = | z_2 |$ ? Dies lädt dazu ein, die Darstellung komplexer Zahlen in Polarkoordinaten zu verwenden.

Also wenn man schreibt $z_1 = r e^{i \theta_1}$ Und $z_2 = r e^{i \theta_2}$ , die Frage läuft darauf hinaus, das zu zeigen $\frac{e^{i \theta_1} + e^{i \theta_2}}{e^{i \theta_1} - e^{i \theta_2}}$ ist eingebildet. Dividieren von Zähler und Nenner durch $e^{i(\theta_1 - \theta_2)/2}$ führt zum Ergebnis.

Umberto P. · Answer 2

Multipliziere stattdessen mit $\dfrac{\bar{z_1} + \bar{z_2}}{\bar{z_1} + \bar{z_2}}$ zu bekommen $\displaystyle \frac{|z_1|^2 + z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}{z_2} + |z_2|^2}{|z_1|^2 + z_1\bar{z_2} - \bar{z_1}{z_2} - |z_2|^2}$ . Der Nenner ist imaginär und der Zähler reell.

Danke! Ich habe die konjugierte Notation vergessen, nochmals vielen Dank!

Labor bhattacharjee · Answer 3

\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} - z_{2}} + \frac{{\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2}}{\bar{z_{1} - z_{2}}}

$\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}+\frac{\overline z_1+\overline z_2}{\overline{z_1-z_2}}$

= \frac{2 {\bar{z}}_{1} z_{1} - 2 {\bar{z}}_{2} z_{2}}{| z_{1} - z_{2} |^{2}} = 0

$=\frac{2\overline z_1z_1-2\overline z_2z_2}{|z_1-z_2|^2}=0$

als $z\overline z=|z|^2=|\overline z|^2$

und wie $x+iy+\overline{x+iy}=2x$

Warte, warum addierst du die Brüche, anstatt sie zu multiplizieren? @lab bhattacharjee
@SamirChahine, bist du der letzten Zeile gefolgt? Wo haben Sie festgestellt, dass es obligatorisch ist, Brüche zu multiplizieren?
Multipliziert die Rationalisierung des Nenners nicht den ganzen Bruch mit seinem Konjugat? Oder kann ich bei komplexen Zahlen addieren? @labbhattacharjee
@SamirChahine, es ist eine andere Möglichkeit, den Nenner zu rationalisieren. Bitte folgen Sie der letzten Zeile der Antwort
Ich habe es gerade getan, ich bin begeistert, danke aha, macht viel mehr Sinn!
@SamirChahine, willkommen. Finden Sie auch meine andere Antwort, sieht die Berechnung zu groß aus?

Labor bhattacharjee · Answer 4

Einstellung $z_1=a+ib,z_2=c+id$

\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} - z_{2}} = \frac{A + C + ich (B + D)}{A - C + ich (B - D)}

$\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\frac{a+c+i(b+d)}{a-c+i(b-d)}$

= \frac{{A + C + ich (B + D)} {A - C - ich (B - D)}}{(A - C)^{2} + (B - D)^{2}}

$=\frac{\{a+c+i(b+d)\}\{a-c-i(b-d)\}}{(a-c)^2+(b-d)^2}$

Offensichtlich ist der Realteil des Zählers $(a+c)(a-c)+(b+d)(b-d)=a^2+b^2-(c^2+d^2)=|z_1|^2-|z_2|^2$

Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.Wenn |z1|=|z2|, zeige, dass z1+z2z1−z2imaginär ist.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ zeige, dass } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{imaginär ist.}

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Umberto P.

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Labor bhattacharjee

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Meers E. Chahine

Labor bhattacharjee

Labor bhattacharjee

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