Warum ist eine Wurzel überflüssig, wenn man Polynomentwicklungen mit komplexen Zahlen von cos(4x) verwendet, um cos(π/8) zu finden?

Question

Warum ist eine Wurzel überflüssig, wenn man Polynomentwicklungen mit komplexen Zahlen von cos(4x) verwendet, um cos(π/8) zu finden?

Mathematik
Trigonometrie
komplexe Zahlen

Kevin Friedrich

Unter Verwendung des Satzes von De Moivre, der Binomialerweiterung und der pythagoreischen Identität habe ich das folgende Polynom für $\cos 4\theta$ :

\cos (4 θ) = 8 \cos^{4} θ - 8 \cos^{2} θ + 1

$\cos\left(4\theta\right) = 8\cos^4\theta -8\cos^2\theta +1$

Ich versuche, einen genauen Wert für zu finden $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$ .

Seit $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ , Dann $\cos\left(4\cdot\frac{\pi}{8}\right)=0$ , also muss das stimmen

8 \cos^{4} (\frac{π}{8}) - 8 \cos^{2} (\frac{π}{8}) + 1 = 0

$8\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) -8\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) +1 =0$ und durch die quadratische Formel habe ich

\cos (\frac{π}{8}) = \pm \frac{\sqrt{2 \pm \sqrt{2}}}{2}

$\cos \left(\frac{\pi}{8}\right) = \pm\frac{\sqrt{2\pm\sqrt{2}}}{2}$ Seit

\frac{π}{8}

$\frac{\pi}{8}$ im ersten Quadranten ist, verwerfen wir die negative Wurzel, also haben wir

\cos (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2 \pm \sqrt{2}}}{2}

$\cos \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2\pm\sqrt{2}}}{2}$

Jetzt, $\cos \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ stimmt, aber $\cos \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ ist falsch. (Ich kenne das aus dem ungefähren Zahlenwert von $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$ .)

Meine Frage: Woher wissen wir das? $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ ist eine fremde Wurzel?

Antworten (2)

Warum ist eine Wurzel überflüssig, wenn man Polynomentwicklungen mit komplexen Zahlen von cos(4x) verwendet, um cos(π/8) zu finden?

Jose Carlos Santos · Answer 1

Seit $0<\frac\pi8<\frac\pi4$ , und da $\cos|_{[0,\pi/2]}$ ist streng abnehmend,

1 > \cos (\frac{π}{8}) > \cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .

$1>\cos\left(\frac\pi8\right)>\cos\left(\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}2.$ Aber

\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} .

$\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2<\frac{\sqrt2}2.$

DinosaurierEi · Answer 2

Beachten Sie dies bei der Einstellung $\theta=\frac{3\pi}{8},\frac{9\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}$ wir erhalten drei weitere Lösungen für dieselbe quartische Gleichung. Da diese Gleichung nur 4 Lösungen haben kann, ist dies der vollständige Lösungssatz.

Jetzt $\cos\frac{9\pi}{8}=-\cos\frac{\pi}{8}$ Und $\cos\frac{11\pi}{8}=-\cos\frac{3\pi}{8}$ und deshalb ist von den positiven Wurzeln eine von ihnen $\cos\pi/8$ und der andere ist $\cos 3\pi/8.$ Seit $\cos x$ ia s abnehmende Funktion in $[0,\pi]$ , schließen Sie, dass der gewünschte Wert der niedrigste der beiden positiven Werte sein muss, und erhalten Sie $\cos 3\pi/8$ auch kostenlos.

Warum ist eine Wurzel überflüssig, wenn man Polynomentwicklungen mit komplexen Zahlen von cos(4x) verwendet, um cos(π/8) zu finden?

Kevin Friedrich

Antworten (2)

Jose Carlos Santos

Kevin Friedrich

DinosaurierEi

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